contrôles en première ES

contrôle du 1er avril 2010

Corrigé de l'exercice 1

On considère les matrices P=(1-12-12) et D=(12002)

partie a

  1. Calculer D2 et D3

    D2=(12002)×(12002)=(14004)

    D3=D2×D=(14004)×(12002)=(18008)

    Ainsi, D2=(1220022) et D3=(1230023)


  2. On note P-1 la matrice inverse de la matrice P. Vérifier que P-1=(-1323-4323)

    P×P-1=(1-12-12)×(-1323-4323)=(1001)

    P×(-1323-4323)=I2 donc P-1=(-1323-4323)


  3. Soit A la matrice telle que A=P×D×P-1. Calculer A.

    P×D×P-1=(1-12-12)×(12002)×(-1323-4323)=(12-21-1)×(-1323-4323)=(52-110)

    Donc A=(52-110)


  4. Montrer que A2=P×D2×P-1 et A3=P×D3×P-1

    A2=(P×D×P-1)×(P×D×P-1)=P×D×P-1×P×D×P-1=P×D×I2×D×P-1=P×D×D×P-1=P×D2×P-1

    A3=(P×D2×P-1)×(P×D×P-1)=P×D2×P-1×P×D×P-1=P×D2×I2×D×P-1=P×D2×D×P-1=P×D3×P-1

    Ainsi, A2=P×D2×P-1 et A3=P×D3×P-1


partie b

On considère la suite (un) définie par u0=2 , u1=1 et pour tout entier n, un+2=52un+1-un.

  1. Pour tout entier n, on pose Vn=(un+1un)

    1. Donner V0 et V1.

      V0=(u1u0)=(12)

      V1=(u2u1)=(52×1-21)=(121)

      V0=(12) et V1=(121)


    2. Montrer que Vn+1=A×Vn

      A×Vn=(52-110)×(un+1un)=(52un+1-unun+1)=(un+2un+1)=Vn+1

      Vn+1=A×Vn


  2. On admet que pour tout entier n, Vn=An×V0, Dn=(12n002n) et An=P×Dn×P-1

    1. Calculer P×D6.

      P×D6=(1-12-12)×(12002)6=(1-12-12)×(1260026)=(126-26226-262)

      P×D6=(164-64132-32)


    2. Exprimer V6 en fonction de V0, P et D.

      V6=A6×V0SoitV6=P×D6×P-1×V0

      Ainsi V6=(1-12-12)×(1260026)×(-1323-4323)×(12)


    3. En déduire les valeurs de u6 et u7.

      V6=(u7u6) et V6=(1-12-12)×(1260026)×(-1323-4323)×(12). Or (1-12-12)×(1260026)=(164-64132-32)et(-1323-4323)×(12)=(10)

      Donc (u7u6)=(1-12-12)×(1260026)×(-1323-4323)×(12)=(164-64132-32)×(10)=(164132)

      D'où u6=132 et u7=164



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