contrôles en première ES

contrôle du 1er avril 2010

thèmes :

  • Matrices.
  • Intersection de plans .

exercice 1

On considère les matrices P=1-12-12 et D=12002

partie a

  1. Calculer D2 et D3

  2. On note P-1 la matrice inverse de la matrice P. Vérifier que P-1=-1323-4323

  3. Soit A la matrice telle que A=P×D×P-1. Calculer A.

  4. Montrer que A2=P×D2×P-1 et A3=P×D3×P-1

partie b

On considère la suite un définie par u0=2 , u1=1 et pour tout entier n, un+2=52un+1-un.

  1. Pour tout entier n, on pose Vn=un+1un

    1. Donner V0 et V1.

    2. Montrer que Vn+1=A×Vn

  2. On admet que pour tout entier n, Vn=An×V0, Dn=12n002n et An=P×Dn×P-1

    1. Calculer P×D6.

    2. Exprimer V6 en fonction de V0, P et D.

    3. En déduire les valeurs de u6 et u7


exercice 2

    1. Traduire le système S{4x+3y+3z=24y+z=-6x+2y=-8 par une égalité matricielle de la forme AX=B.

    2. À l'aide la calculatrice déterminer la matrice A-1 et résoudre le système.

  1. Dans l 'espace muni d'un repère Oıȷk.

    1. Quel est l'ensemble des points de l'espace dont les coordonnées sont solutions du système S

    2. Représenter, la résolution graphique du système S


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