contrôle du 5 novembre 2010

Corrigé de l'exercice 2

1. Établir le tableau des variations de la fonction f. Préciser l'extremum de la fonction f.

   Sur tout intervalle où la fonction u ne s'annule pas, les fonctions u et ${\displaystyle \frac{1}{u}}$ ont des variations contraires.

   La courbe fournie permet d'établir les variations de la fonction u

   x	$-\infty$		− 1		$+\infty$
   Variations de u			4

   D'où le tableau des variations de la fonction f

   x	$-\infty$		− 1		$+\infty$
   Variations de $f={\displaystyle \frac{1}{u}}$			0,25

   Le minimum de la fonction f est $$\begin{array}{ccc}f\left(1\right)={\displaystyle \frac{1}{u\left(1\right)}}& \text{Soit}& f\left(1\right)={\displaystyle \frac{1}{4}}\end{array}$$

2. Quelles sont les solutions de l'équation $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{2}}$ ?

   Pour tout réel x :$$\begin{array}{ccccc}f\left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{2}}& \iff & {\displaystyle \frac{1}{u\left(x\right)}}={\displaystyle \frac{1}{2}}& \iff & u\left(x\right)=2\end{array}$$

   Les points $A\left(-2;2\right)$ et $C\left(0;2\right)$ appartiennent à la courbe ${𝒞}_u$. Par conséquent, l'équation $u\left(x\right)=2$ admet deux solutions − 2 et 2.

   L'ensemble des solutions de l'équation $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{2}}$ est $S=\left\{-2;2\right\}$.

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