contrôle commun de seconde du 05 Avril 2005

Corrigé de l'exercice 6

Soit f  la fonction définie sur $ℝ$ par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{x^3}{4}}-3x+4$, dont la courbe représentative $C_f$ est donnée ci-dessous.
La droite D d'équation $y=x+4$ est la représentation graphique de la fonction affine g.

1. La droite D coupe la courbe $C_f$ en trois points $A\left(x_A;0\right)$, $B\left(0;y_B\right)$ et $C\left(4;y_C\right)$. Calculer le plus simplement possible les coordonnées des points d'intersection. Les placer sur le repère.

   A, B et C sont les points d'intersection de la droite D  avec la courbe ${𝒞}_f$ par conséquent, leurs coordonnées vérifient les équations de la droite et de la courbe.

   • Pour le point A, il est plus simple d'utiliser l'équation de la droite D.

     L'abscisse $x_A$ est solution de l'équation :$$\begin{array}{ccc}x+4=0& \iff & x=-4\end{array}$$

     Ainsi, les coordonnées du point A sont $A\left(-4;0\right)$.

     ---

   • Pour le point B, il suffit de calculer l'image de 0.

     Or $f\left(0\right)=4$

     Donc les coordonnées du point B sont $B\left(0;4\right)$.

     ---

   • Pour le point C, il est plus simple d'utiliser l'équation de la droite D.

     L'ordonnée $y_C=4+4=8$

     D'où les coordonnées du point C sont $C\left(4;8\right)$.

     ---

2. À l'aide du graphique :

   1. Dresser le tableau de variation de la fonction f.

      Tableau des variations de la fonction f établi à partir du graphique:

      x	$-\infty$		− 2		2		+ ∞;
      $f\left(x\right)$			8		0

      ---

   2. Résoudre l'équation $f\left(x\right)=0$.

      La courbe $C_f$ coupe l'axe des abscisses en deux points. Le point A d'abscisse −4 et un autre point d'abscisse 2.

      Graphiquement, l'équation $f\left(x\right)=0$ admet deux solutions $x_1=-4$ et $x_2=2$.

      ---

   3. Donner le nombre de solutions de l'équation $f\left(x\right)=4$.

      La droite d'équation $y=4$ coupe la courbe $C_f$ en trois points dont les abscisses sont les solutions de l'équation $f\left(x\right)=4$.

      Graphiquement, l'équation $f\left(x\right)=4$ admet trois solutions.

      ---

3. Résoudre dans $ℝ$ l'inéquation $f\left(x\right)>4$.

   •  $$\begin{array}{lll}f\left(x\right)>4& \iff & {\displaystyle \frac{x^3}{4}}-3x+4>4\\ & \iff & {\displaystyle \frac{x^3}{4}}-3x>0\\ & \iff & {\displaystyle \frac{x}{4}}\left(x^2-12\right)>0\\ & \iff & {\displaystyle \frac{x}{4}}\left(x-2\sqrt{3}\right)\left(x+2\sqrt{3}\right)>0\end{array}$$

   • Étudions à l'aide d'un tableau, le signe du produit ${\displaystyle \frac{x}{4}}\left(x-2\sqrt{3}\right)\left(x+2\sqrt{3}\right)$

     x	$-\infty$		$-2\sqrt{3}$		0		$2\sqrt{3}$		$-\infty$
     x		−	$|$	−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+	$|$	+
     $x-2\sqrt{3}$		−	$|$	−	$|$	−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+
     $x+2\sqrt{3}$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+	$|$	+	$|$	+
     ${\displaystyle \frac{x}{4}}\left(x-2\sqrt{3}\right)\left(x+2\sqrt{3}\right)$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+

   ---

   Ainsi, $f\left(x\right)>4\iff x\in \left]-2\sqrt{3};0\right[\cup \left]2\sqrt{3};+\infty \right[$.

   ---

4. Résoudre dans $ℝ$ l'inéquation ${\displaystyle \frac{x^3}{4}}-3x+4⩽x+4$ . En déduire les positions relatives des courbes représentatives des fonctions f et g.

   Pour tout réel x$$\begin{array}{lll}{\displaystyle \frac{x^3}{4}}-3x+4⩽x+4& \iff & {\displaystyle \frac{x^3}{4}}-4x⩽0\\ & \iff & {\displaystyle \frac{x}{4}}\left(x^2-16\right)⩽0\\ & \iff & {\displaystyle \frac{x\left(x-4\right)\left(x+4\right)}{4}}⩽0\end{array}$$

   Étudions à l'aide d'un tableau, le signe du produit $x\left(x-4\right)\left(x+4\right)$

   x	$-\infty$		$-4$		0		4		$-\infty$
   x		−	$|$	−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+	$|$	+
   $x-4$		−	$|$	−	$|$	−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+
   $x+4$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+	$|$	+	$|$	+
   ${\displaystyle \frac{x\left(x-4\right)\left(x+4\right)}{4}}$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+

   ---

   Ainsi, ${\displaystyle \frac{x^3}{4}}-3x+4⩽x+4\iff x\in ]-\infty ;-4]\cup [0;4]$

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   Positions relatives des courbes représentatives des fonctions f et g.

   • La droite D coupe la courbe $C_f$ en trois points d'abscisses respectives : $-4$ ; 0 et 4.
   • La courbe $C_f$ est au dessous de la droite D si $x\in \left]-\infty ;-4\right]\cup \left[0;4\right]$.
   • La courbe $C_f$ est au dessus de la droite D si $x\in [-4;0]\cup \left[4;+\infty \right[$.

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