contrôle commun de seconde du 05 Avril 2005

Corrigé de l'exercice 5

1. Soit f une fonction définie sur $\left]0;5\right[$ par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{25}{4}}-{\left(x-{\displaystyle \frac{5}{2}}\right)}^2$.

   1. Calculer $f\left({\displaystyle \frac{5}{2}}\right)$.

      f est la fonction définie sur $\left]0;5\right[$ par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{25}{4}}-{\left(x-{\displaystyle \frac{5}{2}}\right)}^2$ d'où $$f\left({\displaystyle \frac{5}{2}}\right)={\displaystyle \frac{25}{4}}-{\left({\displaystyle \frac{5}{2}}-{\displaystyle \frac{5}{2}}\right)}^2$$

      Soit $f\left({\displaystyle \frac{5}{2}}\right)={\displaystyle \frac{25}{4}}$

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   2. Montrer que f admet un maximum sur $\left]0;5\right[$ .

      Pour tout réel x : $$\begin{array}{rcl}{\left(x-{\displaystyle \frac{5}{2}}\right)}^2⩾0& \iff & -{\left(x-{\displaystyle \frac{5}{2}}\right)}^2⩽0\\ & \iff & {\displaystyle \frac{25}{4}}-{\left(x-{\displaystyle \frac{5}{2}}\right)}^2⩽{\displaystyle \frac{25}{4}}\end{array}$$

      Ainsi Pour tout réel x, $f\left(x\right)⩽{\displaystyle \frac{25}{4}}$ et $f\left({\displaystyle \frac{5}{2}}\right)={\displaystyle \frac{25}{4}}$ donc :

      la fonction f admet un maximum égal à ${\displaystyle \frac{25}{4}}$ sur $\left]0;5\right[$, atteint pour $x={\displaystyle \frac{5}{2}}$

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   3. On note $C_f$ la courbe représentative de la fonction f.
      Tracer la courbe $C_f$ dans un repère orthonormé (unités graphiques : 1 cmsur chaque axe).

   4. Par lecture graphique, donner le tableau des variations de la fonction f .

      À partir du graphique nous avons le tableau de variation de la fonction f :

      x	0		${\displaystyle \frac{5}{2}}$		5
      $f\left(x\right)$			${\displaystyle \frac{25}{4}}$

2. Soit M un point de la droite D d'équation $y=-x+5$, d'abscisse $x\in ]0;5[$.

   1. Exprimer en fonction de x, l'ordonnée du point M.

      M est un point de la droite D , alors les coordonnées du point M vérifient l'équation de la droite d'où :

      $M\left(x;-x+5\right)$.

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   2. Exprimer en fonction de x l'aire $A\left(x\right)$ du rectangle MNOP.

      Le repère est orthonormé par conséquent, l'aire du rectangle MNOP est :

      $A\left(x\right)=x(-x+5)$

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   3. Vérifier que pour tout réel $x\in \left]0;5\right[$, $A\left(x\right)=f\left(x\right)$.

      Pour tout réel x : $${\displaystyle \frac{25}{4}}-{\left(x-{\displaystyle \frac{5}{2}}\right)}^2=({\displaystyle \frac{5}{2}}+x-{\displaystyle \frac{5}{2}})({\displaystyle \frac{5}{2}}-x+{\displaystyle \frac{5}{2}})=x(-x+5)$$

      Ainsi pour tout réel $x\in \left]0;5\right[$ on a $A\left(x\right)=f\left(x\right)$.

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   4. En déduire la valeur de x pour laquelle l'aire $A\left(x\right)$ du rectangle MNOP est maximale. Quelle est alors la nature du rectangle ?

      D'après la première question l'aire du rectangle MNOP est maximale pour $x={\displaystyle \frac{5}{2}}$
      Si $x={\displaystyle \frac{5}{2}}$ alors $y=-{\displaystyle \frac{5}{2}}+5={\displaystyle \frac{5}{2}}$. Le rectangle MNOP ayant deux côtés consécutifs de même longueur est un carré.

      Pour $x=\mathrm{2,5}$ l'aire de MNOP est maximale et MNOP est un carré.

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