contrôle commun de seconde du 05 Avril 2005

Corrigé de l'exercice 1

1. Résoudre dans $ℝ$ l'inéquation suivante : ${\displaystyle \frac{2}{3}}\left(x-3\right)-4x⩾5\left({\displaystyle \frac{x}{3}}-{\displaystyle \frac{7}{5}}\right)$

   $$\begin{array}{rcll}{\displaystyle \frac{2}{3}}\left(x-3\right)-4x⩾5\left({\displaystyle \frac{x}{3}}-{\displaystyle \frac{7}{5}}\right)& \iff & {\displaystyle \frac{2}{3}}x-2-4x⩾{\displaystyle \frac{5}{3}}x-7& \\ & \iff & {\displaystyle \frac{2}{3}}x-4x-{\displaystyle \frac{5}{3}}x⩾2-7& \\ & \iff & -5x⩾-5& \\ & \iff & x⩽1& \text{Multiplication par un réel strictement négatif !}\end{array}$$

   Ainsi, l'ensemble des solutions de l'inéquation ${\displaystyle \frac{2}{3}}\left(x-3\right)-4x⩾5\left({\displaystyle \frac{x}{3}}-{\displaystyle \frac{7}{5}}\right)$ est l'ensemble des réels de l'intervalle $]-\infty ;1]$ .

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2. Écrire chaque expression sous forme d'un seul quotient, puis factoriser le numérateur obtenu :

   1. Pour tout réel $x\notin \left\{-2;0\right\}$ on a : $$\begin{array}{rcl}A\left(x\right)={\displaystyle \frac{8}{x}}+{\displaystyle \frac{x}{x+2}}& =& {\displaystyle \frac{8\left(x+2\right)+x^2}{x\left(x+2\right)}}\\ & =& {\displaystyle \frac{x^2+8x+16}{x\left(x+2\right)}}\\ & =& {\displaystyle \frac{\left(x+4\right)²}{x\left(x+2\right)}}\end{array}$$

      Ainsi, $A\left(x\right)={\displaystyle \frac{8}{x}}+{\displaystyle \frac{x}{x+2}}={\displaystyle \frac{\left(x+4\right)²}{x\left(x+2\right)}}$

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   2. Pour tout réel $x\ne -1$, on a :$$\begin{array}{rcl}B\left(x\right)=1-{\displaystyle \frac{4}{{\left(x+1\right)}^2}}& =& {\displaystyle \frac{{\left(x+1\right)}^2-4}{{\left(x+1\right)}^2}}\\ & =& {\displaystyle \frac{{\left(x+1\right)}^2-2^2}{{\left(x+1\right)}^2}}\\ & =& {\displaystyle \frac{\left(x+1-2\right)\left(x+1+2\right)}{{\left(x+1\right)}^2}}\\ & =& {\displaystyle \frac{\left(x-1\right)\left(x+3\right)}{{\left(x+1\right)}^2}}\end{array}$$

      Ainsi, $B\left(x\right)=1-{\displaystyle \frac{4}{{\left(x+1\right)}^2}}={\displaystyle \frac{\left(x-1\right)\left(x+3\right)}{{\left(x+1\right)}^2}}$

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3. Soient a et b deux réels strictement positifs. Montrer que : ${\left(\sqrt{{\displaystyle \frac{a}{b}}}-\sqrt{{\displaystyle \frac{b}{a}}}\right)}^2={\displaystyle \frac{{\left(a-b\right)}^2}{ab}}$

   Soient a et b deux réels strictement positifs : $$\begin{array}{lll}{\left(\sqrt{{\displaystyle \frac{a}{b}}}-\sqrt{{\displaystyle \frac{b}{a}}}\right)}^2& =& {\displaystyle \frac{a}{b}}+{\displaystyle \frac{b}{a}}-2\sqrt{{\displaystyle \frac{a}{b}}\times {\displaystyle \frac{b}{a}}}\\ & =& {\displaystyle \frac{a}{b}}+{\displaystyle \frac{b}{a}}-2\\ & =& {\displaystyle \frac{a^2+b^2-2ab}{ab}}\\ & =& {\displaystyle \frac{{\left(a-b\right)}^2}{ab}}\end{array}$$

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4. Recopier et compléter le texte suivant :

   1. $\dots ⩽x⩽\dots$ équivaut à $x\in [1;5]$. Le centre de cet intervalle est …, son rayon est …, donc : $x\in [1;5]$ équivaut à $|x-\dots |⩽2$.

      $1⩽x⩽5$ équivaut à $x\in [1;5]$. Le centre de cet intervalle est ${\displaystyle \frac{5+1}{2}}=3$, son rayon est 2. Donc : $x\in [1;5]$ équivaut à $|x-3|⩽2$.

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   2. $x>7$ équivaut à $x\in ]\dots ;\dots [$.

      $x>7$ équivaut à $x\in \left]7;+\infty \right[$.

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5. Déterminer la fonction affine f  sachant que $f\left(2\right)=2$ et $f(-4)=5$ .

   f est une fonction affine d'où $f\left(x\right)=ax+b$ avec$$a={\displaystyle \frac{f\left(2\right)-f\left(-4\right)}{2-\left(-4\right)}}={\displaystyle \frac{2-5}{2+4}}={\displaystyle \frac{-3}{6}}=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$$

   Soit $f\left(x\right)=-{\displaystyle \frac{1}{2}}x+b$. Comme $f\left(2\right)=2$, on en déduit que b est solution de l'équation :$$-{\displaystyle \frac{1}{2}}\times 2+b=2\iff -1+b=2\iff b=3$$

   Ainsi f est la fonction affine définie sur $ℝ$ par $f\left(x\right)=-{\displaystyle \frac{1}{2}}x+3$

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6. Tracer dans un même repère orthonormal $(\mathrm{O};\overrightarrow{𝚤},\overrightarrow{𝚥})$ les trois droites d'équation respective :
   a)  $x=2$      b)  $y=3$      c)  $y=-2x+1$
   Marquer sur chaque droite son équation.

   1. La droite d'équation $x=2$ est une droite parallèle à l'axe des ordonnées qui coupe l'axe des abscisses au point de coordonnées $\left(2;0\right)$

   2. La droite d'équation $y=3$ est une droite parallèle à l'axe des abscisses qui coupe l'axe des ordonnées au point de coordonnées $\left(0;3\right)$

   3. La droite d'équation $y=-2x+1$ passe par les points de coordonnées $\left(0;1\right)$ et $\left(-1;3\right)$

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