Soit un cercle de centre O et de diamètre [IJ], le cercle de diamètre [OI].
M est un point du cercle différent de I et J.
La droite (MI) coupe le cercle en S et la droite (MO) coupe le cercle en T.
La droite perpendiculaire à (IJ) passant par M coupe la droite (IT) en P.
Démontrer que les points P,O et S sont alignés.
T est un point du cercle de diamètre [IO], le triangle TOI est donc rectangle en T. Par conséquent la droite (MT) est perpendiculaire à la droite (IP).
D'autre part, la droite (IJ) est perpendiculaire à la droite (MP).
Ainsi, les droites (IJ) et (MT) sont deux hauteurs du triangle PIM, donc leur point d'intersection O est l'orthocentre de ce triangle.
Par conséquent, la droite (OP) est la troisième hauteur de ce triangle, elle est perpendiculaire à la droite (MI).
Or le point S est sur le cercle de diamètre [IO], le triangle SOI est donc rectangle en S, et la droite (OS) est aussi perpendiculaire à la droite (MI).
Les droites (OS) et (OP) étant perpendiculaires à la droite (MI) sont parallèles, donc :
les points S, O et P sont alignés.
Démontrer que S est le milieu du segment [IM].
Les segments [OI] et [OM] sont des rayons du cercle d'où OI = OM et O est un point de la médiatrice du segment [IM].
On en déduit que (SO) est la médiatrice du segment [IM] et donc :
S est le milieu de [IM].
Quelle est la nature du triangle IPM ?
Le point P est sur la médiatrice du segment [IM], on a donc PI = PM .
Par conséquent le triangle PIM est isocèle en P.
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