contrôle commun de seconde du 05 Avril 2005

Corrigé de l'exercice 2

A, B et C sont trois points d'un cercle $𝒞$ . La bissectrice de l'angle $\widehat{BAC}$ coupe [BC] au point I et le cercle $𝒞$ en D.

1. Montrer que les triangles ABI et ADC sont semblables.

   La demi-droite [AD) est la bissectrice de l'angle $\widehat{BAC}$ donc $\widehat{BAI}=\widehat{DAC}$

   Les angles inscrits $\widehat{ABC}$ et $\widehat{ADC}$   interceptant le même arc $\stackrel{⏜}{AC}$ , sont égaux.

   Les triangles ABI et ADC ayant deux angles égaux deux à deux ,sont semblables .

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2. En déduire que $\mathrm{AI}\times \mathrm{AD}=\mathrm{AB}\times \mathrm{AC}$.

   Les triangles ABI et ADC sont semblables donc les côtés opposés aux angles égaux sont proportionnels, d'où :$$\begin{array}{ccc}{\displaystyle \frac{AI}{AC}}={\displaystyle \frac{AB}{AD}}& \iff & AB\times AC=AI\times AD\end{array}$$

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