contrôle du 24 septembre 2010

Corrigé de l'exercice 2

1. Donner le tableau du signe de f suivant les valeurs de x.

   x	− 7		2		7		10
   Signe de $f\left(x\right)$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+

2. Comparer $f\left(-{\displaystyle \frac{5}{3}}\right)$ et $f\left(-{\displaystyle \frac{3}{5}}\right)$

   Sur l'intervalle $\left[-3;5\right]$, la fonction f est strictement décroissante et $-{\displaystyle \frac{5}{3}}<-{\displaystyle \frac{3}{5}}$ donc $f\left(-{\displaystyle \frac{5}{3}}\right)>f\left(-{\displaystyle \frac{3}{5}}\right)$

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3. Peut-on comparer les images de − 4 et de 8 ?

   D'après les variations de la fonction f :

   • Sur l'intervalle $\left[-7;-3\right]$, la fonction f est strictement croissante donc $f\left(-7\right)<f\left(-4\right)<f\left(-3\right)$. Soit $2<f\left(-4\right)<5$

   • Sur l'intervalle $\left[3;10\right]$, la fonction f est strictement croissante donc $f\left(3\right)<f\left(8\right)<f\left(10\right)$. Soit $-1<f\left(8\right)<1$

   Ainsi, $f\left(-4\right)>f\left(8\right)$

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4. a et b sont deux réels de l'intervalle $\left[-3;3\right]$, tels que $a<b$. Comparer $f\left(a\right)$ et $f\left(b\right)$

   Sur l'intervalle $\left[-3;3\right]$, la fonction f est strictement décroissante. Par conséquent, si $-3⩽a<b⩽3$ alors $f\left(a\right)>f\left(b\right)$.

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5. Résoudre l'inéquation $f\left(x\right)⩾2$.

   • Sur l'intervalle $\left[-7;-3\right]$, la fonction f est strictement croissante donc si $-7⩽x⩽-3$ alors $f\left(x\right)⩾2$

   • Sur l'intervalle $\left[-3;3\right]$, la fonction f est strictement décroissante et $f\left(0\right)=2$ donc si $-3⩽x⩽0$ alors $f\left(x\right)⩾2$

   • Sur l'intervalle $\left[3;10\right]$, la fonction f est strictement croissante donc si $3⩽x⩽10$ alors $f\left(x\right)⩽1$

   Ainsi, l'ensemble S solution de l'inéquation $f\left(x\right)⩾2$ est $S=\left[-7;0\right]$

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