contrôles en seconde

contrôle du 24 septembre 2010

Corrigé de l'exercice 3

Soit f la fonction définie sur $ℝ$ par $f (x) = {(x + 3)}^{2} - 4 x^{2}$ . On note $C_{f}$ sa courbe représentative.

Factoriser l'expression de $f (x)$ .
Pour tout réel x, $\begin{array}{rcl} {(x + 3)}^{2} - 4 x^{2} & = & [(x + 3) - 2 x] \times [(x + 3) + 2 x] \\ = & (3 - x) (3 x + 3) \end{array}$
Ainsi, $f (x) = 3 (3 - x) (x + 1)$
Développer l'expression de $f (x)$ .
Pour tout réel x, $\begin{array}{rcl} {(x + 3)}^{2} - 4 x^{2} & = & (x^{2} + 6 x + 9) - 4 x^{2} \\ = & - 3 x^{2} + 6 x + 9 \end{array}$
Ainsi, $f (x) = - 3 x^{2} + 6 x + 9$
Calculer l'image par la fonction f de $1 + \sqrt{2}$ .
Pour calculer l'image par la fonction f de $1 + \sqrt{2}$ utilisons par exemple l'expression factorisée de $f (x)$ , $\begin{array}{rcl} f (1 + \sqrt{2}) & = & 3 (3 - 1 - \sqrt{2}) (1 + \sqrt{2} + 1) \\ = & 3 (2 - \sqrt{2}) (2 + \sqrt{2}) \\ = & 3 (4 - 2) \\ = & 6 \end{array}$
$1 + \sqrt{2}$ a pour image 6.
Quelles sont les coordonnées des points d'intersection de la courbe $C_{f}$ avec les axes du repère ?
- L'ordonnée du point d'intersection de la courbe $C_{f}$ avec l'axe des ordonnées est l'image par f de 0. Or $f (0) = 9$ .
  Les coordonnées du point d'intersection de la courbe $C_{f}$ avec l'axe des ordonnées sont $(0; 9)$
- Les abscisses des points d'intersections de la courbe $C_{f}$ avec l'axe des abscisses sont les antécédents de 0. C'est à dire, les solutions de l'équation $f (x) = 0$ . Soit les réels x solutions de : $\begin{matrix} 3 (3 - x) (x + 1) = 0 & \Leftrightarrow & x + 1 = 0 ou 3 - x = 0 \\ \Leftrightarrow & x = - 1 ou x = 3 \end{matrix}$
  La courbe $C_{f}$ coupe l'axe des abscisses en deux points de coordonnées respectives $(- 1; 0)$ et $(3; 0)$
Quelles sont les abscisses des points de la courbe $C_{f}$ qui ont pour ordonnée 9 ?
Les abscisses des points de la courbe $C_{f}$ qui ont pour ordonnée 9 sont les solutions de l'équation $f (x) = 9$ . Soit les réels x solutions de : $\begin{matrix} - 3 x^{2} + 6 x + 9 = 9 & \Leftrightarrow & - 3 x^{2} + 6 x = 0 \\ \Leftrightarrow & 3 x (2 - x) = 0 \\ \Leftrightarrow & x = 0 ou x = 2 \end{matrix}$
Les abscisses des deux points de la courbe $C_{f}$ qui ont pour ordonnée 9 sont 0 et 2.

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