contrôle du 16 décembre 2010

Corrigé de l'exercice 1

1. Sur le dessin ci-dessous, placer les points M, N et P tels que $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$  , $\overrightarrow{AN}={\displaystyle \frac{3}{2}}\overrightarrow{AB}$   et $\overrightarrow{AP}=2\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$.

2. Exprimer le vecteur $\overrightarrow{MN}$ en fonction des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ .

   $$\begin{array}{ccc}\overrightarrow{MN}& =& \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AN}\hfill \\ & =& -\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AN}\hfill \\ & =& -\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)+{\displaystyle \frac{3}{2}}\overrightarrow{AB}\hfill \\ & =& {\displaystyle \frac{1}{2}}\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\hfill \end{array}$$

   Ainsi, $\overrightarrow{MN}={\displaystyle \frac{1}{2}}\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}$

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3. Montrer que les droites (MN) et (AP) sont parallèles.

   $\overrightarrow{MN}={\displaystyle \frac{1}{2}}\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{AP}=2\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$ donc $\overrightarrow{AP}=-2\overrightarrow{MN}$. Par conséquent, les vecteurs $\overrightarrow{AP}$ et $\overrightarrow{MN}$ sont colinéaires.

   les vecteurs $\overrightarrow{AP}$ et $\overrightarrow{MN}$ sont colinéaires donc les droites (MN) et (AP) sont parallèles.

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