contrôles en seconde

contrôle du 16 décembre 2010

Corrigé de l'exercice 2

  1. Soit f la fonction définie sur \{0} par f(x)=2x.

    1. Résoudre f(x)=-3.

      Pour tout réel x0 , f(x)=-32x=-32x+3=02+3xx=0

      Soit x0 et 2+3x=0x=-23.

      L'équation f(x)=-3 a pour unique solution -23


    2. Donner le meilleur encadrement possible de f(x) sachant que x]-23;-14|

      -23<x<-14-4<1x<-32La fonction inverse est strictement décroissante sur ]-;0[-8<2x<-3

      Si x est un nombre réel de l'intervalle ]-23;-14| alors -8<f(x)<-3


  2. Soit g la fonction définie sur par g(x)=x2-1.

    1. Résoudre g(x)=3.

      Pour tout réel x , g(x)=3x2-1=3x2-4=0(x-2)(x+2)=0Soitx=2 ou x=-2

      L'ensemble des solutions de l'équation g(x)=3 est S={-2;2}


    2. Montrer que si x est un nombre réel de l'intervalle [-3;52] alors -1g(x)8. La réciproque est-elle vraie ?

      Sur l'intervalle [-3;52] la fonction carrée n'est pas monotone. Or x[-3;52] équivaut à x[-3;0] ou x[0;52] :

      • Si -3x0 alors, 0x29. La fonction carrée est strictement décroissante sur ]-;0[.

        Soit -1x2-18

      • Si 0x52 alors, 0x2254. La fonction carrée est strictement croissante sur ]0;+[.

        Soit -1x2-1214

      Or 214<9 donc si -3x52 alors, -1x2-18.

      Ainsi, si x est un nombre réel de l'intervalle [-3;52] alors -1g(x)8


      Réciproquement, -1x2-180x29Soit-3x3

      Si -1g(x)8 alors -3x3. Donc la réciproque est fausse.



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