contrôle du 16 décembre 2010

Corrigé de l'exercice 3

On suppose dans cet exercice, que le prix de la location d'une voiture pour le week-end est de 80€, que la consommation moyenne d'un véhicule est de 10 litres de carburant pour 100 km parcourus et que le prix d'un litre de carburant est de 1,40€.

1. Pierre loue un véhicule pendant le week-end et parcourt 40 km pendant le week-end.

   1. À combien lui revient la location du véhicule ?

      Le montant en euros du coût total de la location est $$80+\left(40\times {\displaystyle \frac{10}{100}}\times \mathrm{1,4}\right)=\mathrm{85,6}$$

      Le coût total de la location du véhicule est de 85,60 €.

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   2. Quel est le prix moyen par kilomètre parcouru ?

      Le coût moyen par kilomètre parcouru de la location du véhicule est : $${\displaystyle \frac{\mathrm{85,6}}{40}}=\mathrm{2,14}$$

      Le prix moyen par kilomètre parcouru est de 2,14 €.

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2. Soit $x>0$, le nombre de kilomètres parcourus par un client qui loue une voiture pendant le week-end.

   remarque

   La consommation moyenne d'un véhicule est de 10 litres de carburant pour 100 km parcourus ce qui équivaut à une consommation moyenne de 0,1 litre par kilomètre parcouru.
   Le prix d'un litre de carburant est de 1,40€ par conséquent, le coût en carburant par kilomètre parcouru est de 0,14 €.

   1. Exprimer en fonction de x, le montant $f\left(x\right)$ du coût total de la location pendant le week-end. Préciser les variations de la fonction f.

      $f\left(x\right)=80+\mathrm{0,14}x$. f est une fonction affine dont le coefficient 0,14 est positif donc f est strictement croissante.

      Le montant du coût total de la location pendant le week-end est modélisé par la fonction f définie pour tout réel $x>0$ par $f\left(x\right)=\mathrm{0,14}x+80$. f est strictement croissante.

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   2. Pour tout réel $x>0$, on note $g\left(x\right)$ le prix de revient moyen par kilomètre parcouru.

      • Vérifier que $g\left(x\right)=\mathrm{0,14}+{\displaystyle \frac{80}{x}}$

        Pour tout réel $x>0$, $g\left(x\right)={\displaystyle \frac{f\left(x\right)}{x}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,14}x+80}{x}}=\mathrm{0,14}+{\displaystyle \frac{80}{x}}$

        g est la fonction définie pour tout réel $x>0$ par $g\left(x\right)=\mathrm{0,14}+{\displaystyle \frac{80}{x}}$.

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      • Montrer que g est décroissante sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$

        méthode 1 :

        Soit a et b deux réels strictement positifs tels que $0<a<b$ : $$\begin{array}{ccc}g\left(a\right)-g\left(b\right)& =& \mathrm{0,14}+{\displaystyle \frac{80}{a}}-\mathrm{0,14}-{\displaystyle \frac{80}{b}}\hfill \\ & =& {\displaystyle \frac{80}{a}}-{\displaystyle \frac{80}{b}}\hfill \\ & =& {\displaystyle \frac{80b-80a}{ab}}\hfill \\ & =& {\displaystyle \frac{80\left(b-a\right)}{ab}}\hfill \end{array}$$

        Or si $0<a<b$ alors $b-a>0$ et $ab>0$ donc ${\displaystyle \frac{80\left(b-a\right)}{ab}}>0$ soit $g\left(a\right)-g\left(b\right)>0$

        Ainsi, si $0<a<b$ alors $g\left(a\right)>g\left(b\right)$. Donc g est décroissante sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$.

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        méthode 2 :

        Soit a et b deux réels strictement positifs tels que $0<a<b$ : $$\begin{array}{ccc}0<a<b& \iff & 0<{\displaystyle \frac{1}{\mathrm{b}}}<{\displaystyle \frac{1}{\mathrm{a}}}\hfill \\ & \iff & 0<{\displaystyle \frac{80}{\mathrm{b}}}<{\displaystyle \frac{80}{\mathrm{a}}}\hfill \\ & \iff & \mathrm{0,14}<\mathrm{0,14}+{\displaystyle \frac{80}{\mathrm{b}}}<\mathrm{0,14}+{\displaystyle \frac{80}{\mathrm{a}}}\hfill \\ & \iff & \mathrm{0,14}<g\left(b\right)<g\left(a\right)\hfill \end{array}$$

        Ainsi, si $0<a<b$ alors $g\left(b\right)<g\left(a\right)$. Donc g est décroissante sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$.

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3. Un client ayant loué une voiture pendant le week-end a calculé que le prix de revient moyen par kilomètre parcouru a été de 0,39€.

   1. Quelle distance ce client a-t-il parcouru pendant le week-end ?

      La distance x parcourue pendant le week-end est solution de l'équation $g\left(x\right)=\mathrm{0,39}$. Soit $$\begin{array}{ccc}\mathrm{0,14}+{\displaystyle \frac{80}{x}}=\mathrm{0,39}& \iff & {\displaystyle \frac{80}{x}}-\mathrm{0,25}=0\hfill \\ & \iff & {\displaystyle \frac{80-\mathrm{0,25}x}{x}}=0\hfill \end{array}$$

      Soit $x\ne 0$ et $80-\mathrm{0,25}x=0\iff x=320$.

      Le client a parcouru 320 km pendant le week-end.

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   2. Quel est le montant du coût total de la location pendant le week-end ?

      $320\times \mathrm{0,39}=\mathrm{124,8}$ ou bien $f\left(320\right)=\mathrm{0,14}\times 320+80=\mathrm{124,8}$

      Le coût total de la location est de 124,80 €

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