contrôle du 9 mai 2014

Corrigé de l'exercice 1

Sur le cercle trigonométrique associé au repère orthonormé $\left(\mathrm{O};I,J\right)$, on a tracé le polygone régulier étoilé ABCDEFGHI.

1. Quelle est la longueur de l'arc $\stackrel{⏜}{IG}$ ?

   Le périmètre du cercle trigonométrique est égal à $2\pi$ donc :

   La longueur de l'arc $\stackrel{⏜}{IG}$ est égale à ${\displaystyle \frac{2\pi }{9}}$.

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2. Donner les coordonnées des points C et F.

   Par enroulement de la droite réelle sur le cercle trigonométrique :

   • Le point C est l'image du réel $3\times {\displaystyle \frac{2\pi }{9}}={\displaystyle \frac{2\pi }{3}}$. Par conséquent, C a pour coordonnées $C\left(\cos {\displaystyle \frac{2\pi }{3}};\sin {\displaystyle \frac{2\pi }{3}}\right)$. Soit $C\left(-{\displaystyle \frac{1}{2}};{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\right)$.

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   • Le point F est l'image du réel $-3\times {\displaystyle \frac{2\pi }{9}}=-{\displaystyle \frac{2\pi }{3}}$. Par conséquent, F a pour coordonnées $F\left(\cos -{\displaystyle \frac{2\pi }{3}};\sin -{\displaystyle \frac{2\pi }{3}}\right)$. Soit $F\left(-{\displaystyle \frac{1}{2}};-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\right)$.

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3. Les points A et H ont-ils la même abscisse ?

   Par enroulement de la droite réelle sur le cercle trigonométrique, les points A et H sont les images respectives des réels ${\displaystyle \frac{8\pi }{9}}$ et $-{\displaystyle \frac{8\pi }{9}}$.

   Comme pour tout réel x, $\cos x=\cos \left(-x\right)$, on en déduit que :

   Les points A et H ont pour abscisse $\cos {\displaystyle \frac{8\pi }{9}}$.

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