contrôle du 9 mai 2014

Corrigé de l'exercice 3

1. On donne $\cos {\displaystyle \frac{7\pi }{12}}={\displaystyle \frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}}$. Calculer $\sin {\displaystyle \frac{7\pi }{12}}$.

   ${\cos }^2{\displaystyle \frac{7\pi }{12}}+{\sin }^2{\displaystyle \frac{7\pi }{12}}=1$. D'où $$\begin{array}{ccc}{\left({\displaystyle \frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}}\right)}^2+{\sin }^2{\displaystyle \frac{7\pi }{12}}=1& \iff & {\sin }^{2}x=1-{\left({\displaystyle \frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}}\right)}^2\hfill \\ & \iff & {\sin }^2{\displaystyle \frac{7\pi }{12}}=1-\left({\displaystyle \frac{8-2\sqrt{12}}{16}}\right)\hfill \\ & \iff & {\sin }^2{\displaystyle \frac{7\pi }{12}}={\displaystyle \frac{8+2\sqrt{12}}{16}}\hfill \\ & \iff & {\sin }^2{\displaystyle \frac{7\pi }{12}}={\left({\displaystyle \frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}}\right)}^2\hfill \end{array}$$

   Soit $\sin {\displaystyle \frac{7\pi }{12}}=-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}}$ ou $\sin {\displaystyle \frac{7\pi }{12}}={\displaystyle \frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}}$. Comme ${\displaystyle \frac{7\pi }{12}}\in \left[{\displaystyle \frac{\pi }{2}};\pi \right]$ alors, $0⩽\sin {\displaystyle \frac{7\pi }{12}}⩽1$.

   Ainsi, $\sin {\displaystyle \frac{7\pi }{12}}={\displaystyle \frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}}$

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2. Soit x un réel de l'intervalle $\left[{\displaystyle \frac{\pi }{2}};\pi \right]$ tel que $\sin x={\displaystyle \frac{4}{5}}$. Calculer $\cos x$.

   Pour tout réel x, ${\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x=1$. D'où $$\begin{array}{ccc}{\cos }^{2}x+{\left({\displaystyle \frac{4}{5}}\right)}^2=1& \iff & {\cos }^{2}x+{\displaystyle \frac{16}{25}}=1\hfill \\ & \iff & {\cos }^{2}x={\displaystyle \frac{9}{25}}\hfill \end{array}$$

   Soit $\cos x=-{\displaystyle \frac{3}{5}}$ ou $\cos x={\displaystyle \frac{3}{5}}$. Comme x est un réel de l'intervalle $\left[{\displaystyle \frac{\pi }{2}};\pi \right]$ alors, $-1⩽\cos x⩽0$. Donc $\cos x=-{\displaystyle \frac{3}{5}}$.

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