contrôle du 9 mai 2014

Corrigé de l'exercice 4

1. Calculer ${\left(\cos {\displaystyle \frac{\pi }{6}}+\sin {\displaystyle \frac{\pi }{6}}\right)}^2+{\left(\cos {\displaystyle \frac{\pi }{6}}-\sin {\displaystyle \frac{\pi }{6}}\right)}^2$.

   $$\begin{array}{rcll}{\left(\cos {\displaystyle \frac{\pi }{6}}+\sin {\displaystyle \frac{\pi }{6}}\right)}^2+{\left(\cos {\displaystyle \frac{\pi }{6}}-\sin {\displaystyle \frac{\pi }{6}}\right)}^2& =& {\cos }^2{\displaystyle \frac{\pi }{6}}+{\sin }^2{\displaystyle \frac{\pi }{6}}+2\cos {\displaystyle \frac{\pi }{6}}\sin {\displaystyle \frac{\pi }{6}}+{\cos }^2{\displaystyle \frac{\pi }{6}}+{\sin }^2{\displaystyle \frac{\pi }{6}}-2\cos {\displaystyle \frac{\pi }{6}}\sin {\displaystyle \frac{\pi }{6}}& \\ & =& 2\left({\cos }^2{\displaystyle \frac{\pi }{6}}+{\sin }^2{\displaystyle \frac{\pi }{6}}\right)\\ & =& 2\end{array}$$

   Ainsi, ${\left(\cos {\displaystyle \frac{\pi }{6}}+\sin {\displaystyle \frac{\pi }{6}}\right)}^2+{\left(\cos {\displaystyle \frac{\pi }{6}}-\sin {\displaystyle \frac{\pi }{6}}\right)}^2=2$.

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2. Soit f la fonction définie pour tout réel x par $f\left(x\right)={\left(\cos x+\sin x\right)}^2+{\left(\cos x-\sin x\right)}^2$. Montrer que f est une fonction affine.

   Pour tout réel x, $$\begin{array}{rcll}{\left(\cos x+\sin x\right)}^2+{\left(\cos x-\sin x\right)}^2& =& {\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x+2\cos x\sin x+{\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x-2\cos x\sin x& \\ & =& 2\left({\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x\right)\\ & =& 2\end{array}$$

   Ainsi, pour tout réel x, $f\left(x\right)=2$ donc f est une fonction affine.

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