contrôle du 9 mai 2014

exercice 1

Sur le cercle trigonométrique associé au repère orthonormé $\left(\mathrm{O};I,J\right)$, on a tracé le polygone régulier étoilé ABCDEFGHI.

1. Quelle est la longueur de l'arc $\stackrel{⏜}{IG}$ ?

2. Donner les coordonnées des points C et F.

3. Les points A et H ont-ils la même abscisse ?

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exercice 2

Dans chaque cas, déterminer les réels x tels que :

1. $\cos x=-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$ et $x\in \left]-\pi ;\pi \right]$.

2. $\sin x={\displaystyle \frac{1}{2}}$ et $x\in \left[0;\pi \right]$.

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exercice 3

1. On donne $\cos {\displaystyle \frac{7\pi }{12}}={\displaystyle \frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}}$. Calculer $\sin {\displaystyle \frac{7\pi }{12}}$.

2. Soit x un réel de l'intervalle $\left[{\displaystyle \frac{\pi }{2}};\pi \right]$ tel que $\sin x={\displaystyle \frac{4}{5}}$. Calculer $\cos x$.

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exercice 4

1. Calculer ${\left(\cos {\displaystyle \frac{\pi }{6}}+\sin {\displaystyle \frac{\pi }{6}}\right)}^2+{\left(\cos {\displaystyle \frac{\pi }{6}}-\sin {\displaystyle \frac{\pi }{6}}\right)}^2$.

2. Soit f la fonction définie pour tout réel x par $f\left(x\right)={\left(\cos x+\sin x\right)}^2+{\left(\cos x-\sin x\right)}^2$.
   Montrer que f est une fonction affine.

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exercice 5

Résoudre dans l'intervalle $\left]-\pi ;\pi \right]$ l'équation $4{\cos }^{2}x-3=0$.

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exercice 6

Soit f la fonction définie sur $ℝ-\left\{-2\right\}$ par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{7}{x+2}}-2$.

1. Donner le tableau des variations de la fonction f.

2. Étudier le signe de $f\left(x\right)$ selon les valeurs de x.

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