contrôle du 9 mai 2014

Corrigé de l'exercice 6

Soit f la fonction définie sur $ℝ-\left\{-2\right\}$ par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{7}{x+2}}-2$.

1. Donner le tableau des variations de la fonction f.

   Étudions les variations de la fonction f sur chacun des intervalles $\left]-\infty ;-2\right[$ ou $\left]-2;+\infty \right[$

   • Soient a et b deux réels tels que $a<b<-2$ : $$\begin{array}{ccc}a<b<-2& \iff & a+2<b+2<0\end{array}$$

     Comme sur l'intervalle $\left]-\infty ;0\right[$, la fonction inverse est strictement décroissante alors, ${\displaystyle \frac{1}{a+2}}>{\displaystyle \frac{1}{b+2}}$.
     D'où ${\displaystyle \frac{7}{a+2}}>{\displaystyle \frac{7}{b+2}}$ et donc ${\displaystyle \frac{7}{a+2}}-2>{\displaystyle \frac{7}{b+2}}-2$

     Ainsi, si $a<b<-2$ alors $f\left(b\right)<f\left(a\right)$ donc la fonction f est strictement décroissante sur l'intervalle $\left]-\infty ;-2\right[$.

   • Soient a et b deux réels tels que $-2<a<b$ : $$\begin{array}{rcl}-2<a<b& \iff & 0<a+2<b+2\\ & \iff & {\displaystyle \frac{1}{a+2}}>{\displaystyle \frac{1}{b+2}}>0\\ & \iff & {\displaystyle \frac{7}{a+2}}>{\displaystyle \frac{7}{b+2}}>0\\ & \iff & {\displaystyle \frac{7}{a+2}}-2>{\displaystyle \frac{7}{b+2}}-2>-2\end{array}$$

     Ainsi, si $-2<a<b$ alors $f\left(b\right)<f\left(a\right)$ donc la fonction f est strictement décroissante sur l'intervalle $\left]-2;+\infty \right[$.

   D'où le tableau des variations de la fonction f :

   x	$-\infty$		− 2				$+\infty$
   $f\left(x\right)$

2. Étudier le signe de $f\left(x\right)$ selon les valeurs de x.

   Pour tout réel $x\ne -2$ :$${\displaystyle \frac{7}{x+2}}-2={\displaystyle \frac{7-2\times \left(x+2\right)}{x+2}}={\displaystyle \frac{3-2x}{x+2}}$$

   Étudions le signe de $f\left(x\right)$ à l'aide d'un tableau

   x	$-\infty$		$-2$				${\displaystyle \frac{3}{2}}$		$+\infty$
   Signe de $\left(3-2x\right)$		+				+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−
   Signe de $\left(x+2\right)$		−				+	$|$	+
   Signe de $f\left(x\right)$		−				+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−

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