contrôle du 28 mai 2015

Corrigé de l'exercice 2

Le plan est muni d'un repère orthonormé $\left(\mathrm{O};\overrightarrow{𝚤},\overrightarrow{𝚥}\right)$.

1. ABCDEF est un hexagone régulier inscrit dans le cercle trigonométrique.

   1. Par enroulement de la droite réelle sur le cercle trigonométrique, à quels réels de l'intervalle $\left]-\pi ;\pi \right]$ sont associés les sommets de cet hexagone ?

      L'hexagone ABCDEF est inscrit dans le cercle trigonométrique de centre O et de rayon 1.
      La longueur d'un arc de cercle entre deux sommets consécutifs de l'hexagone ABCDEF est égale à : ${\displaystyle \frac{2\pi }{6}}={\displaystyle \frac{\pi }{3}}$. On en déduit que par enroulement de la droite réelle sur le cercle trigonométrique :

      les points A, B, C, D, E et F sont les images respectives des réels 0, ${\displaystyle \frac{\pi }{3}}$, ${\displaystyle \frac{2\pi }{3}}$, $\pi$, $-{\displaystyle \frac{2\pi }{3}}$ et $-{\displaystyle \frac{\pi }{3}}$.

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   2. Déterminer les valeurs exactes des coordonnées des sommets de l'hexagone.

      • Les coordonnées du point A sont $A\left(1;0\right)$.

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      • Les coordonnées du point B sont $B\left(\cos {\displaystyle \frac{\pi }{3}};\sin {\displaystyle \frac{\pi }{3}}\right)$ soit $B\left({\displaystyle \frac{1}{2}};{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\right)$.

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      • Les coordonnées du point C sont $C\left(\cos {\displaystyle \frac{2\pi }{3}};\sin {\displaystyle \frac{2\pi }{3}}\right)$ soit $C\left(-{\displaystyle \frac{1}{2}};{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\right)$.

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      • Les coordonnées du point D sont $D\left(-1;0\right)$.

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      • Le point E est le symétrique du point C par rapport à l'axe des abscisses. Les coordonnées du point E sont $E\left(-{\displaystyle \frac{1}{2}};-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\right)$.

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      • Le point F est le symétrique du point B par rapport à l'axe des abscisses. Les coordonnées du point F sont $F\left({\displaystyle \frac{1}{2}};-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\right)$.

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2. M est le point image du nombre réel ${\displaystyle \frac{\pi }{5}}$ sur le cercle trigonométrique.

   1. Placer sur le cercle trigonométrique les points N et P images respectives des réels ${\displaystyle \frac{4\pi }{5}}$ et ${\displaystyle \frac{9\pi }{5}}$.

      • ${\displaystyle \frac{4\pi }{5}}=\pi -{\displaystyle \frac{\pi }{5}}$ donc le point N est le symétrique du point M par rapport à l'axe des ordonnées.

      • ${\displaystyle \frac{9\pi }{5}}=2\pi -{\displaystyle \frac{\pi }{5}}$ donc le point P est le symétrique du point M par rapport à l'axe des abscisses.

   2. On donne $\cos \left({\displaystyle \frac{\pi }{5}}\right)={\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{4}}$. Déterminer les valeurs exactes des coordonnées des points M, N et P.

      Les coordonnées du point M sont $M\left(\cos {\displaystyle \frac{\pi }{5}};\sin {\displaystyle \frac{\pi }{5}}\right)$. Or pour tout réel x, ${\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x=1$. D'où $$\begin{array}{ccc}{\left({\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{4}}\right)}^2+{\sin }^2\left({\displaystyle \frac{\pi }{5}}\right)=1& \iff & {\sin }^2\left({\displaystyle \frac{\pi }{5}}\right)=1-{\left({\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{4}}\right)}^2\hfill \\ & \iff & {\sin }^2\left({\displaystyle \frac{\pi }{5}}\right)=1-{\displaystyle \frac{6+2\sqrt{5}}{16}}\hfill \\ & \iff & {\sin }^2\left({\displaystyle \frac{\pi }{5}}\right)={\displaystyle \frac{10-2\sqrt{5}}{16}}\hfill \end{array}$$

      Soit $\sin \left({\displaystyle \frac{\pi }{5}}\right)=-{\displaystyle \frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}}$ ou $\sin \left({\displaystyle \frac{\pi }{5}}\right)={\displaystyle \frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}}$. Comme ${\displaystyle \frac{\pi }{5}}\in \left[0;{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\right]$ alors, $0⩽\sin \left({\displaystyle \frac{\pi }{5}}\right)⩽1$. Ainsi, $\sin \left({\displaystyle \frac{\pi }{5}}\right)={\displaystyle \frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}}$

      Les coordonnées du point M sont $M\left({\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{4}};{\displaystyle \frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}}\right)$. Par symétrie, les coordonnées des points N et P sont $N\left(-{\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{4}};{\displaystyle \frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}}\right)$ et $P\left({\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{4}};-{\displaystyle \frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}}\right)$.

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