contrôle du 28 mai 2015

Corrigé de l'exercice 3

Le plan est muni d'un repère orthonormé $\left(\mathrm{O};\overrightarrow{𝚤},\overrightarrow{𝚥}\right)$.
A est le point du cercle trigonométrique image du réel ${\displaystyle \frac{\pi }{6}}$ et I le point de coordonnées $\left(1;0\right)$.

1. Calculer distance IA.

   Les coordonnées du point A sont $A\left(\cos {\displaystyle \frac{\pi }{6}};\sin {\displaystyle \frac{\pi }{6}}\right)$ soit $A\left({\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}};{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)$.

   Le plan est muni d'un repère orthonormé d'où :$$\begin{array}{rcl}IA=\sqrt{{\left(x_A-x_I\right)}^2+{\left(y_A-y_I\right)}^2}& \text{Soit}& IA=\sqrt{{\left({\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}-1\right)}^2+{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^2}=\sqrt{2-\sqrt{3}}\end{array}$$

   Ainsi, $IA=\sqrt{2-\sqrt{3}}$

2. Montrer que $IA=2\times \sin \left({\displaystyle \frac{\pi }{12}}\right)$. En déduire la valeur exacte de $\sin \left({\displaystyle \frac{\pi }{12}}\right)$.

   Soit M le milieu du segment [IA]. Or le triangle AOI est isocèle donc la droite (OM) est un axe de symétrie du triangle.
   Par conséquent, le triangle IOM est rectangle en M avec $IM={\displaystyle \frac{IA}{2}}$ et l'angle $\widehat{I\mathrm{O}M}={\displaystyle \frac{\pi }{12}}$. On en déduit : $$\begin{array}{ccc}IM=\mathrm{O}I\times \sin \left({\displaystyle \frac{\pi }{12}}\right)& \text{soit}& {\displaystyle \frac{IA}{2}}=\sin \left({\displaystyle \frac{\pi }{12}}\right)\iff IA=2\times \sin \left({\displaystyle \frac{\pi }{12}}\right)\end{array}$$

   Ainsi, $IA=2\times \sin \left({\displaystyle \frac{\pi }{12}}\right)$ d'où $\sin \left({\displaystyle \frac{\pi }{12}}\right)={\displaystyle \frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}}$.

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3. Déterminer alors $\cos \left({\displaystyle \frac{\pi }{12}}\right)$, $\cos \left({\displaystyle \frac{13\pi }{12}}\right)$ et $\sin \left({\displaystyle \frac{13\pi }{12}}\right)$.

   1. Pour tout réel x, ${\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x=1$. D'où $$\begin{array}{ccc}{\cos }^2\left({\displaystyle \frac{\pi }{12}}\right)+{\left({\displaystyle \frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}}\right)}^2=1& \iff & {\cos }^2\left({\displaystyle \frac{\pi }{12}}\right)=1-{\left({\displaystyle \frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}}\right)}^2\hfill \\ & \iff & {\cos }^2\left({\displaystyle \frac{\pi }{12}}\right)=1-{\displaystyle \frac{2-\sqrt{3}}{4}}\hfill \\ & \iff & {\cos }^2\left({\displaystyle \frac{\pi }{12}}\right)={\displaystyle \frac{2+\sqrt{3}}{4}}\hfill \end{array}$$

      Soit $\cos \left({\displaystyle \frac{\pi }{12}}\right)=-{\displaystyle \frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}}$ ou $\cos \left({\displaystyle \frac{\pi }{12}}\right)={\displaystyle \frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}}$. Comme ${\displaystyle \frac{\pi }{12}}\in \left[0;{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\right]$ alors, $0⩽\cos \left({\displaystyle \frac{\pi }{12}}\right)⩽1$.

      Ainsi, $\cos \left({\displaystyle \frac{\pi }{12}}\right)={\displaystyle \frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}}$.

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   2. ${\displaystyle \frac{13\pi }{12}}=\pi +{\displaystyle \frac{\pi }{12}}$ d'où $\cos \left({\displaystyle \frac{13\pi }{12}}\right)=-\cos \left({\displaystyle \frac{\pi }{12}}\right)$ et $\sin \left({\displaystyle \frac{13\pi }{12}}\right)=-\sin \left({\displaystyle \frac{\pi }{12}}\right)$.

      $\cos \left({\displaystyle \frac{13\pi }{12}}\right)=-{\displaystyle \frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{2}}$ et $\sin \left({\displaystyle \frac{13\pi }{12}}\right)=-{\displaystyle \frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}}$.

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