contrôle du 28 mai 2015

Corrigé de l'exercice 5

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1. Méthode 1

   L'aire S du triangle ABC est :$$S={\displaystyle \frac{AH\times BC}{2}}$$

   • Dans le triangle ABH rectangle en H :$$\begin{array}{lcl}AH=AB\times \sin {60}^{\circ }& \text{soit}& AH=4\times {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}=2\sqrt{3}\\ BH=AB\times \cos {60}^{\circ }& \text{soit}& BH=4\times {\displaystyle \frac{1}{2}}=2\end{array}$$
   • AHC est un triangle rectangle et isocèle d'où $$\begin{array}{ccc}HC=AH=2\sqrt{3}& \text{et}& BC=BH+HC=2+2\sqrt{3}\end{array}$$
   • L'aire S du triangle ABC est :$$S={\displaystyle \frac{2\sqrt{3}\times \left(2+2\sqrt{3}\right)}{2}}=6+2\sqrt{3}$$

   L'aire du triangle ABC est $S=6+2\sqrt{3}$

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2. Méthode 2

   L'aire du triangle ABC est égale à la somme des aires des triangles ABH et AHC

   • L'aire du triangle rectangle ABH est $S_1={\displaystyle \frac{AH\times BH}{2}}$ avec $$\begin{array}{lcl}AH=AB\times \sin {60}^{\circ }& \text{soit}& AH=4\times {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}=2\sqrt{3}\\ BH=AB\times \cos {60}^{\circ }& \text{soit}& BH=4\times {\displaystyle \frac{1}{2}}=2\end{array}$$D'où $$S_1={\displaystyle \frac{2\sqrt{3}\times 2}{2}}=2\sqrt{3}$$
   • L'aire du triangle rectangle isocèle AHC est $$\begin{array}{ccc}{S}_2={\displaystyle \frac{{AH}^2}{2}}& \text{soit}& S_2={\displaystyle \frac{{\left(2\sqrt{3}\right)}^2}{2}}=6\end{array}$$
   • L'aire S du triangle ABC est :$$\begin{array}{ccc}S=S_1+S_2& \text{soit}& S=2\sqrt{3}+6\end{array}$$

   L'aire du triangle ABC est $S=6+2\sqrt{3}$

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