contrôle du 28 mai 2015

Corrigé de l'exercice 4

Résoudre les équations suivantes dans l'intervalle $\left]-\pi ;\pi \right]$.

1. $\sin x=-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$.

   Sur l'intervalle $\left]-\pi ;\pi \right]$ :$$\begin{array}{ccc}\sin x=-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}& \iff & \{\begin{array}{c}\sin x=\sin \left(-{\displaystyle \frac{\pi }{4}}\right)\\ \sin x=\sin \left(-{\displaystyle \frac{3\pi }{4}}\right)\end{array}\hfill \end{array}$$

   Les solutions de l'équation $\sin x=-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$ sont $x=-{\displaystyle \frac{3\pi }{4}}$ ou $x=-{\displaystyle \frac{\pi }{4}}$.

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2. $\cos x={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$.

   Sur l'intervalle $\left]-\pi ;\pi \right]$ :$$\begin{array}{ccc}\cos x={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}& \iff & \{\begin{array}{c}\cos x=\cos \left({\displaystyle \frac{\pi }{6}}\right)\\ \cos x=\cos \left(-{\displaystyle \frac{\pi }{6}}\right)\end{array}\hfill \end{array}$$

   Les solutions de l'équation $\cos x={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$ sont $x=-{\displaystyle \frac{\pi }{6}}$ ou $x={\displaystyle \frac{\pi }{6}}$.

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3. $1-2\cos x=0$.

   $1-2\cos x=0\iff \cos x={\displaystyle \frac{1}{2}}$. Sur l'intervalle $\left]-\pi ;\pi \right]$ :$$\begin{array}{ccc}\cos x={\displaystyle \frac{1}{2}}& \iff & \{\begin{array}{c}\cos x=\cos \left({\displaystyle \frac{2\pi }{3}}\right)\\ \cos x=\cos \left(-{\displaystyle \frac{2\pi }{3}}\right)\end{array}\hfill \end{array}$$

   Les solutions de l'équation $1-2\cos x=0$ sont $x=-{\displaystyle \frac{2\pi }{3}}$ ou $x={\displaystyle \frac{2\pi }{3}}$.

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4. $2{\sin }^{2}x-1=0$.

   $2{\sin }^{2}x-1=0\iff {\sin }^{2}x={\displaystyle \frac{1}{2}}$. Soit $\sin x={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$ ou $\sin x=-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$ ce qui équivaut à $\sin x=\sin {\displaystyle \frac{\pi }{4}}$ ou $\sin x=\sin \left(-{\displaystyle \frac{\pi }{4}}\right)$

   • Si $M_1$ est le point du cercle trigonométrique associé au réel ${\displaystyle \frac{\pi }{4}}$, il existe un autre point du cercle ayant même ordonnée que le point $M_1$ : c'est le symétrique $M_2$ de $M_1$ par rapport à l'axe des ordonnées, associé au réel ${\displaystyle \frac{3\pi }{4}}$.
   • Si $N_1$ est le point du cercle trigonométrique associé au réel $-{\displaystyle \frac{\pi }{4}}$, il existe un autre point du cercle ayant même ordonnée que le point $N_1$ : c'est le symétrique $N_2$ de $N_1$ par rapport à l'axe des ordonnées, associé au réel $-{\displaystyle \frac{3\pi }{4}}$.

   Sur l'intervalle $\left]-\pi ;\pi \right]$, l'ensemble solution de l'équation $2{\sin }^{2}x-1=0$ est $S=\left\{-{\displaystyle \frac{3\pi }{4}};-{\displaystyle \frac{\pi }{4}};{\displaystyle \frac{\pi }{4}};{\displaystyle \frac{3\pi }{4}}\right\}$.

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