contrôle du 30 septembre 2015

Corrigé de l'exercice 3

Soit f la fonction définie sur l'intervalle $\left[-7;8\right]$ par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{{\left(x-3\right)}^2\times \left(2x+9\right)}{25}}$.

1. Résoudre l'équation $f\left(x\right)=0$.

   Pour tout réel x, $$\begin{array}{rclcl}{\displaystyle \frac{{\left(x-3\right)}^2\times \left(2x+9\right)}{25}}=0& \iff & {\left(x-3\right)}^2=0& \text{ou}& 2x+9=0\\ & \iff & x=3& \text{ou}& x=-{\displaystyle \frac{9}{2}}\end{array}$$

   L'ensemble des solutions de l'équation $f\left(x\right)=0$ est $\left\{-{\displaystyle \frac{9}{2}};3\right\}$.

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2. Recopier et compléter le tableau de variation de la fonction f.

   On a $f\left(-{\displaystyle \frac{9}{2}}\right)=0$ et $f\left(3\right)=0$, calculons l'image de $-2$ par la fonction f :$$f\left(-2\right)={\displaystyle \frac{{\left(-2-3\right)}^2\times \left(2\times \left(-2\right)+9\right)}{25}}={\displaystyle \frac{25\times 5}{25}}=5$$

   Nous pouvons compléter le tablea de variation de la fonction f :

   x	− 7	$-{\displaystyle \frac{9}{2}}$	− 2		3		8
   $f\left(x\right)$	− 20		5		0		25

3. Calculer $f\left({\displaystyle \frac{11}{2}}\right)$. En déduire l'ensemble des solutions de l'inéquation $f\left(x\right)⩽5$.

   $$f\left({\displaystyle \frac{11}{2}}\right)={\displaystyle \frac{{\left({\displaystyle \frac{11}{2}}-3\right)}^2\times \left(2\times {\displaystyle \frac{11}{2}}+9\right)}{25}}={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{25}{4}}\times 20}{25}}=5$$

   D'après le tableau de variation de la fonction f :

   • Pour tout réel x appartenant à l'intervalle $\left[-7;3\right]$, $f\left(x\right)⩽5$.

   • Sur l'intervalle $\left[3;8\right]$ la fonction f est croissante et $f\left({\displaystyle \frac{11}{2}}\right)=5$ donc si $x\in \left[3;{\displaystyle \frac{11}{2}}\right]$ alors $f\left(x\right)⩽5$.

   L'ensemble des solutions de l'inéquation $f\left(x\right)⩽5$ est l'intervalle $\left[-7;{\displaystyle \frac{11}{2}}\right]$.

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4. Soient a et b deux réels de l'intervalle $\left[-2;3\right]$ tels que $a<b$ comparer $f\left(a\right)$ et $f\left(b\right)$

   Sur l'intervalle $\left[-2;3\right]$ la fonction f est décroissante donc :

   Si $-2⩽a<b⩽3$ alors $f\left(a\right)>f\left(b\right)$.

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5. La proposition « Si $-2⩽f\left(x\right)⩽3$ alors $x\in \left[0;5\right]$. » est-elle vraie ou fausse ?

   D'après le tableau de variation de la fonction f :$$f\left(x\right)<0\iff -7⩽x<-{\displaystyle \frac{9}{2}}$$ Par conséquent,

   La proposition « Si $-2⩽f\left(x\right)⩽3$ alors $x\in \left[0;5\right]$. » est fausse.

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