contrôle du 30 septembre 2015

Corrigé de l'exercice 4

1. Donner l'ensemble de définition de la fonction f.

   M est un point du segment [AB] par conséquent, la fonction f est définie sur l'intervalle $\left[0;8\right]$.

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2. 1. Exprimer en fonction de x la distance MN.

      Dans le triangle ABC, les droites MN et AC sont parallèles alors, d'après le théorème de Thalès :$$\begin{array}{rcl}{\displaystyle \frac{BM}{BA}}={\displaystyle \frac{MN}{AC}}& \iff & {\displaystyle \frac{MN}{6}}={\displaystyle \frac{8-x}{8}}\\ & \iff & MN={\displaystyle \frac{6\times \left(8-x\right)}{8}}\end{array}$$

      $MN={\displaystyle \frac{3}{4}}\times \left(8-x\right)$

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   2. En déduire que $f\left(x\right)=-{\displaystyle \frac{3}{4}}{x}^2+6x$.

      L'aire du rectangle AMNP est $$\begin{array}{ccc}AM\times MN& \text{soit}& x\times {\displaystyle \frac{3}{4}}\times \left(8-x\right)=6x-{\displaystyle \frac{3}{4}}{x}^2\end{array}$$

      Ainsi, f est la fonction définie sur l'intervalle $\left[0;8\right]$ par $f\left(x\right)=-{\displaystyle \frac{3}{4}}{x}^2+6x$.

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3. 1. Calculer l'image de 4 par la fonction f et vérifier que $f\left(x\right)-f\left(4\right)=-{\displaystyle \frac{3}{4}}\times {\left(x-4\right)}^2$.

      $$f\left(4\right)=-{\displaystyle \frac{3}{4}}\times 16+6\times 4=12$$

      D'où $$\begin{array}{rcl}f\left(x\right)-f\left(4\right)& =& -{\displaystyle \frac{3}{4}}{x}^2+6x-12\\ & =& -{\displaystyle \frac{3}{4}}\times \left(x^2-8x+16\right)\\ & =& -{\displaystyle \frac{3}{4}}\times {\left(x-4\right)}^2\end{array}$$

      L'image de 4 par la fonction f est égale à 12. Pour tout réel x de l'intervalle $\left[0;8\right]$, $f\left(x\right)-f\left(4\right)=-{\displaystyle \frac{3}{4}}\times {\left(x-4\right)}^2$.

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   2. En déduire l'existence d'un extremum pour la fonction f.

      Pour tout réel x, ${\left(x-4\right)}^2⩾0$ d'où $$\begin{array}{ccc}f\left(x\right)-f\left(4\right)⩽0& \iff & f\left(x\right)⩽f\left(4\right)\end{array}$$

      Pour tout réel x de l'intervalle $\left[0;8\right]$, $f\left(x\right)⩽f\left(4\right)$ donc la fonction f admet $f\left(4\right)=12$ pour maximum.

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4. La courbe représentative de la fonction f est tracée ci-dessous dans le plan muni d'un repère orthogonal.
   À l'aide du graphique, résoudre l'inéquation $f\left(x\right)⩾9$.

   Sur l'intervalle $\left[2;6\right]$ la courbe représentative de la fonction f est au dessus de la droite d'équation $y=9$.

   L'ensemble des solutions de l'inéquation $f\left(x\right)⩾9$ est l'intervalle $\left[2;6\right]$.

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