contrôle du 5 décembre 2015

Sujet A : Corrigé de l'exercice 1

Soit f la fonction définie pour tout réel x par $f\left(x\right)=2x^2-x-12$.
Sa courbe représentative notée $C_f$ est tracée ci-dessous dans le plan muni d'un repère orthogonal.

1. 1. Le point $A\left(-{\displaystyle \frac{5}{2}};3\right)$ appartient-il à la courbe $C_f$ ?

      $$f\left(-{\displaystyle \frac{5}{2}}\right)=2\times {\left(-{\displaystyle \frac{5}{2}}\right)}^2+{\displaystyle \frac{5}{2}}-12=3$$

      $f\left(-1\right)=3$ donc le point $A\left(-{\displaystyle \frac{5}{2}};3\right)$ appartient à la courbe $C_f$.

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   2. Résoudre dans $ℝ$ l'équation $f\left(x\right)=-12$.

      $$\begin{array}{lll}f\left(x\right)=-12& \iff & 2x^2-x-12=-12\\ & \iff & 2x^2-x=0\\ & \iff & x\left(2x-1\right)=0\\ & \iff & x=0\text{ ou }2x-1=0\\ & \iff & x=0\text{ ou }x={\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}$$

      L'ensemble des solutions de l'équation $f\left(x\right)=-12$ est $S=\left\{0;{\displaystyle \frac{1}{2}}\right\}$.

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2. Soit g la fonction affine telle que $g\left(-3\right)=-9$ et $g\left(4\right)=5$.

   1. Déterminer l'expression de $g\left(x\right)$ en fonction de x.

      La fonction affine g est définie pour tout réel x par $g\left(x\right)=ax+b$ avec $$\begin{array}{ccc}a={\displaystyle \frac{g\left(4\right)-g\left(-3\right)}{4-\left(-3\right)}}& \text{Soit}& a={\displaystyle \frac{5+9}{7}}=2\end{array}$$

      Ainsi, g est la fonction définie pour tout réel x par $g\left(x\right)=2x+b$. Or $g\left(4\right)=5$ d'où $$2\times 4+b=5\iff b=-3$$

      g est la fonction définie pour tout réel x par $g\left(x\right)=2x-3$.

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   2. Tracer la courbe D représentative de la fonction g dans le repère précédent.

      La courbe représentative de la fonction affine g est la droite D passant par les points de coordonnées $\left(-3;-9\right)$ et $\left(4;5\right)$.

3. 1. Montrer que $f\left(x\right)-g\left(x\right)=\left(2x+3\right)\left(x-3\right)$.

      Pour tout réel x : $$\begin{array}{rcl}f\left(x\right)-g\left(x\right)& =& 2x^2-x-12-\left(2x-3\right)\\ & =& 2x^2-x-12-2x+3\\ & =& 2x^2-3x-9\end{array}$$

      Or pour tout réel x,$$\begin{array}{rcl}\left(2x+3\right)\left(x-3\right)& =& 2x^2-6x+3x-9\\ & =& 2x^2-3x-9\end{array}$$

      Ainsi, pour tout réel x, $f\left(x\right)-g\left(x\right)=\left(2x+3\right)\left(x-3\right)$.

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   2. Résoudre dans $ℝ$ l'inéquation $f\left(x\right)⩽g\left(x\right)$.

      Pour tout réel x : $$\begin{array}{rcl}f\left(x\right)⩽g\left(x\right)& \iff & f\left(x\right)-g\left(x\right)⩽0\\ & \iff & \left(2x+3\right)\left(x-3\right)⩽0\end{array}$$

      Étudions le signe du produit $\left(2x+3\right)\left(x-3\right)$ à l'aide d'un tableau : $$\begin{array}{llll}& 2x+3⩽0& \iff & x⩽-{\displaystyle \frac{3}{2}}\\ \text{et}& x-3⩽0& \iff & x⩽3\end{array}$$

      x	$-\infty$		$-{\displaystyle \frac{3}{2}}$		3		$+\infty$
      $2x+3$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+	$|$	+
      $x-3$		−	$|$	−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+
      $\left(2x+3\right)\left(x-3\right)$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+

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      L'ensemble des solutions de l'inéquation $f\left(x\right)⩽g\left(x\right)$ est l'intervalle $S=\left[-{\displaystyle \frac{3}{2}};3\right]$.

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