contrôles en seconde

contrôle du 5 décembre 2015

Sujet A : Corrigé de l'exercice 3

Le plan est muni d'un repère orthonormé $(O; \vec{𝚤}, \vec{𝚥})$ . La figure sera complétée tout au long des questions.

Placer les points $A (- 5; 1)$ , $B (3; - 3)$ , $C (5; 1)$ et $E (2; 0)$ .
1. Calculer les coordonnées du point M milieu du segment [AB].
  Les coordonnées $(x_{M}; y_{M})$ du point M milieu du segment [AB] sont : $\begin{matrix} x_{M} = \frac{x_{A} + x_{B}}{2} & Soit & x_{M} = \frac{- 5 + 3}{2} = - 1 \\ y_{M} = \frac{y_{A} + y_{B}}{2} & Soit & y_{M} = \frac{1 - 3}{2} = - 1 \end{matrix}$
  Le point M a pour coordonnées $M (- 1; - 1)$ .
2. Les points E, C et M sont-ils alignés ?
  Les points E, C et M sont alignés si, et seulement si, les vecteurs $\vec{E C}$ et $\vec{E M}$ sont colinéaires.
  Calculons les coordonnées des vecteurs $\vec{E C}$ et $\vec{E M}$ : $\begin{matrix} \vec{E C} (\begin{matrix} x_{C} - x_{E} \\ y_{C} - y_{E} \end{matrix}) & Soit & \vec{E C} (\begin{matrix} 5 - 2 \\ 1 - 0 \end{matrix}) & d'où & \vec{E C} (\begin{matrix} 3 \\ 1 \end{matrix}) \\ et & \vec{E M} (\begin{matrix} x_{M} - x_{E} \\ y_{M} - y_{E} \end{matrix}) & Soit & \vec{E M} (\begin{matrix} - 1 - 2 \\ - 1 - 0 \end{matrix}) & d'où & \vec{E M} (\begin{matrix} - 3 \\ - 1 \end{matrix}) \end{matrix}$
  $\vec{E C} = - \vec{E M}$ donc les vecteurs $\vec{E C}$ et $\vec{E M}$ sont colinéaires et, par conséquent, les points E, C et M sont alignés.
1. Calculer les coordonnées du vecteur $\vec{A B}$ .
  Calculons les coordonnées du vecteur $\vec{A B}$ : $\begin{matrix} \vec{A B} (\begin{matrix} x_{B} - x_{A} \\ y_{B} - y_{A} \end{matrix}) & Soit & \vec{A B} (\begin{matrix} 3 + 5 \\ - 3 - 1 \end{matrix}) & d'où & \vec{A B} (\begin{matrix} 8 \\ - 4 \end{matrix}) \end{matrix}$
  Le vecteur $\vec{A B}$ a pour coordonnées $\vec{A B} (\begin{matrix} 8 \\ - 4 \end{matrix})$ .
2. Calculer les coordonnées du point D tel que le quadrilatère ABCD soit un parallélogramme.
  Le quadrilatère ABCD est un parallélogramme si, et seulement si, $\vec{A B} = \vec{D C}$ .
  Soit $(x; y)$ les coordonnées du point D. Le vecteur $\vec{D C}$ a pour coordonnées : $\vec{D C} (\begin{matrix} 5 - x \\ 1 - y \end{matrix})$ .
  $\begin{array}{rcl} \vec{A B} = \vec{D C} & \Leftrightarrow & {\begin{matrix} 5 - x = 8 \\ 1 - y = - 4 \end{matrix} & \Leftrightarrow & {\begin{matrix} x = - 3 \\ y = 5 \end{matrix} \end{array}$
  Le point D a pour coordonnées $D (- 3; 5)$ .
1. Calculer les distances AC et BD.
  Le plan est muni d'un repère orthonormé d'où : $\begin{array}{rcl} A C = \sqrt{{(x_{C} - x_{A})}^{2} + {(y_{C} - y_{A})}^{2}} & Soit & A C = \sqrt{{(5 + 5)}^{2} + {(1 - 1)}^{2}} = \sqrt{100} = 10 \\ B D = \sqrt{{(x_{D} - x_{B})}^{2} + {(y_{D} - y_{B})}^{2}} & Soit & B D = \sqrt{{(- 3 - 3)}^{2} + {(5 + 3)}^{2}} = \sqrt{100} = 10 \end{array}$
  Ainsi, $A C = B D = 10$ .
2. Quelle est la nature du triangle ABC ?
  ABCD est un parallélogramme dont les diagonales AC et BD ont la même longueur donc ABCD est un rectangle.
  ABC est un triangle rectangle en B.
Placer le point N de coordonnées $(1; 3)$ . Les droites (AN) et (EC) sont-elles parallèles ?
Les droites (AN) et (EC) sont parallèles si, et seulement si, les vecteurs $\vec{A N}$ et $\vec{E C}$ sont colinéaires.
Calculons les coordonnées du vecteur $\vec{A N}$ : $\begin{matrix} \vec{A N} (\begin{matrix} x_{N} - x_{A} \\ y_{N} - y_{A} \end{matrix}) & Soit & \vec{A N} (\begin{matrix} 1 + 5 \\ 3 - 1 \end{matrix}) & d'où & \vec{A N} (\begin{matrix} 6 \\ 2 \end{matrix}) \end{matrix}$
$\vec{A N} = - 2 \vec{E C}$ donc les vecteurs $\vec{A N}$ et $\vec{E C}$ sont colinéaires. Par conséquent, les droites (AN) et (EC) sont parallèles.

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