contrôle du 5 décembre 2015

Sujet B : Corrigé de l'exercice 3

Le plan est muni d'un repère orthonormé $\left(\mathrm{O};\overrightarrow{𝚤},\overrightarrow{𝚥}\right)$. La figure sera complétée tout au long des questions.

1. Placer les points $A\left(4;5\right)$, $B\left(6;-1\right)$, $C\left(-3;-4\right)$ et $E\left(1;-1\right)$.

2. 1. Calculer les coordonnées du point M milieu du segment [AB].

      Les coordonnées $\left(x_M;y_M\right)$ du point M milieu du segment [AB] sont :$$\begin{array}{ccc}{x}_M={\displaystyle \frac{x_A+x_B}{2}}& \text{Soit}& x_M={\displaystyle \frac{4+6}{2}}=5\\ y_M={\displaystyle \frac{y_A+y_B}{2}}& \text{Soit}& y_M={\displaystyle \frac{5-1}{2}}=2\end{array}$$

      Le point M a pour coordonnées $M\left(5;2\right)$.

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   2. Les points E, C et M sont-ils alignés ?

      Les points E, C et M sont alignés si, et seulement si, les vecteurs $\overrightarrow{EC}$ et $\overrightarrow{EM}$ sont colinéaires.

      Calculons les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{EC}$ et $\overrightarrow{EM}$ :$$\begin{array}{cccccc}& \overrightarrow{EC}\left(\begin{array}{c}{x}_C-x_E\\ y_C-y_E\end{array}\right)& \text{Soit}& \overrightarrow{EC}\left(\begin{array}{c}-3-1\\ -4+1\end{array}\right)& \text{d'où}& \overrightarrow{EC}\left(\begin{array}{c}-4\\ -3\end{array}\right)\\ \text{et}& \overrightarrow{EM}\left(\begin{array}{c}{x}_M-x_E\\ y_M-y_E\end{array}\right)& \text{Soit}& \overrightarrow{EM}\left(\begin{array}{c}5-1\\ 2+1\end{array}\right)& \text{d'où}& \overrightarrow{EM}\left(\begin{array}{c}4\\ 3\end{array}\right)\end{array}$$

      $\overrightarrow{EM}=-\overrightarrow{EC}$ donc les vecteurs $\overrightarrow{EC}$ et $\overrightarrow{EM}$ sont colinéaires et, par conséquent, les points E, C et M sont alignés.

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3. 1. Calculer les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$.

      Calculons les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$ :$$\begin{array}{ccccc}\overrightarrow{AB}\left(\begin{array}{c}{x}_B-x_A\\ y_B-y_A\end{array}\right)& \text{Soit}& \overrightarrow{AB}\left(\begin{array}{c}6-4\\ -1-5\end{array}\right)& \text{d'où}& \overrightarrow{AB}\left(\begin{array}{c}2\\ -6\end{array}\right)\end{array}$$

      Le vecteur $\overrightarrow{AB}$ a pour coordonnées $\overrightarrow{AB}\left(\begin{array}{c}2\\ -6\end{array}\right)$.

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   2. Calculer les coordonnées du point D tel que le quadrilatère ABCD soit un parallélogramme.

      Le quadrilatère ABCD est un parallélogramme si, et seulement si, $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$.

      Soit $\left(x;y\right)$ les coordonnées du point D. Le vecteur $\overrightarrow{DC}$ a pour coordonnées : $\overrightarrow{DC}\left(\begin{array}{c}-3-x\\ -4-y\end{array}\right)$.

      $$\begin{array}{rclll}\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}& \iff & \{\begin{array}{c}-3-x=2\\ -4-y=-6\end{array}& \iff & \{\begin{array}{c}x=-5\\ y=2\end{array}\end{array}$$

      Le point D a pour coordonnées $D\left(-5;2\right)$.

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4. 1. Calculer les distances AC et BD.

      Le plan est muni d'un repère orthonormé d'où :$$\begin{array}{rcl}AC=\sqrt{{\left(x_C-x_A\right)}^2+{\left(y_C-y_A\right)}^2}& \text{Soit}& AC=\sqrt{{\left(-3-4\right)}^2+{\left(-4-5\right)}^2}=\sqrt{130}\\ BD=\sqrt{{\left(x_D-x_B\right)}^2+{\left(y_D-y_B\right)}^2}& \text{Soit}& BD=\sqrt{{\left(-5-6\right)}^2+{\left(2+1\right)}^2}=\sqrt{130}\end{array}$$

      Ainsi, $AC=BD=\sqrt{130}$.

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   2. Quelle est la nature du triangle ABC ?

      ABCD est un parallélogramme dont les diagonales AC et BD ont la même longueur donc ABCD est un rectangle.

      ABC est un triangle rectangle en B.

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5. Placer le point N de coordonnées $\left(0;2\right)$. Les droites (AN) et (EC) sont-elles parallèles ?

   Les droites (AN) et (EC) sont parallèles si, et seulement si, les vecteurs $\overrightarrow{AN}$ et $\overrightarrow{EC}$ sont colinéaires.

   Calculons les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AN}$ :$$\begin{array}{ccccc}\overrightarrow{AN}\left(\begin{array}{c}{x}_N-x_A\\ y_N-y_A\end{array}\right)& \text{Soit}& \overrightarrow{AN}\left(\begin{array}{c}0-4\\ 2-5\end{array}\right)& \text{d'où}& \overrightarrow{AN}\left(\begin{array}{c}-4\\ -3\end{array}\right)\end{array}$$

   $\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{EC}$ donc ANCE est un parallélogramme. Par conséquent, les droites (AN) et (EC) sont parallèles.

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