contrôles en seconde

contrôle du 5 décembre 2015

Sujet B : Corrigé de l'exercice 3

Le plan est muni d'un repère orthonormé (O;𝚤,𝚥). La figure sera complétée tout au long des questions.

  1. Placer les points A(4;5), B(6;-1), C(-3;-4) et E(1;-1).

    Figure : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
    1. Calculer les coordonnées du point M milieu du segment [AB].

      Les coordonnées (xM;yM) du point M milieu du segment [AB] sont :xM=xA+xB2SoitxM=4+62=5yM=yA+yB2SoityM=5-12=2

      Le point M a pour coordonnées M(5;2).


    2. Les points E, C et M sont-ils alignés ?

      Les points E, C et M sont alignés si, et seulement si, les vecteurs EC et EM sont colinéaires.

      Calculons les coordonnées des vecteurs EC et EM :EC(xC-xEyC-yE)SoitEC(-3-1-4+1)d'oùEC(-4-3)etEM(xM-xEyM-yE)SoitEM(5-12+1)d'oùEM(43)

      EM=-EC donc les vecteurs EC et EM sont colinéaires et, par conséquent, les points E, C et M sont alignés.


    1. Calculer les coordonnées du vecteur AB.

      Calculons les coordonnées du vecteur AB :AB(xB-xAyB-yA)SoitAB(6-4-1-5)d'oùAB(2-6)

      Le vecteur AB a pour coordonnées AB(2-6).


    2. Calculer les coordonnées du point D tel que le quadrilatère ABCD soit un parallélogramme.

      Le quadrilatère ABCD est un parallélogramme si, et seulement si, AB=DC.

      Soit (x;y) les coordonnées du point D. Le vecteur DC a pour coordonnées : DC(-3-x-4-y).

      AB=DC{-3-x=2-4-y=-6{x=-5y=2

      Le point D a pour coordonnées D(-5;2).


    1. Calculer les distances AC et BD.

      Le plan est muni d'un repère orthonormé d'où :AC=(xC-xA)2+(yC-yA)2SoitAC=(-3-4)2+(-4-5)2=130BD=(xD-xB)2+(yD-yB)2SoitBD=(-5-6)2+(2+1)2=130

      Ainsi, AC=BD=130.


    2. Quelle est la nature du triangle ABC ?

      ABCD est un parallélogramme dont les diagonales AC et BD ont la même longueur donc ABCD est un rectangle.

      ABC est un triangle rectangle en B.


  2. Placer le point N de coordonnées (0;2). Les droites (AN) et (EC) sont-elles parallèles ?

    Les droites (AN) et (EC) sont parallèles si, et seulement si, les vecteurs AN et EC sont colinéaires.

    Calculons les coordonnées du vecteur AN :AN(xN-xAyN-yA)SoitAN(0-42-5)d'oùAN(-4-3)

    AN=EC donc ANCE est un parallélogramme. Par conséquent, les droites (AN) et (EC) sont parallèles.



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