contrôles en seconde

contrôle du 5 décembre 2015

Sujet A : Corrigé de l'exercice 2

ABC est un triangle.

Sur le dessin ci-dessus, placer les points M et N tels que $\vec{A M} = \vec{A B} + \vec{A C}$ et $\vec{A N} + \vec{A B} = \vec{0}$ .
- $\vec{A M} = \vec{A B} + \vec{A C}$ est équivalent à ABMC est un parallélogramme.
- $\vec{A N} + \vec{A B} = \vec{0}$ est équivalent à A est le milieu du segment [BN].
I est le point tel que $2 \vec{I B} = \vec{A B} - \vec{B C}$ . Montrer que I est le milieu du segment [AC].
$2 \vec{I B} = \vec{A B} - \vec{B C} \Leftrightarrow 2 \vec{B I} = \vec{B A} + \vec{B C}$ donc le point I est le milieu du segment [AC].
Les points M, I et N sont-ils alignés ?
Les points M, I et N sont alignés si, et seulement si, les vecteurs $\vec{I M}$ et $\vec{I N}$ sont colinéaires.
- D'après la relation de Chasles $\vec{I M} = \vec{I A} + \vec{A M}$ d'où $\begin{array}{rcl} \vec{I M} = - \frac{1}{2} \vec{A C} + (\vec{A B} + \vec{A C}) & \Leftrightarrow & \vec{I M} = \vec{A B} + \frac{1}{2} \vec{A C} \end{array}$
- D'après la relation de Chasles $\vec{I N} = \vec{I A} + \vec{A N}$ d'où $\begin{array}{rcl} \vec{I N} = - \frac{1}{2} \vec{A C} - \vec{A B} & Soit & \vec{I N} = - \vec{I M} \end{array}$
I est le milieu du segment [MN] donc les points M, I et N sont alignés.

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