contrôle du 27 septembre 2016

Corrigé de l'exercice 3

Soit f la fonction définie pour tout réel x par $f\left(x\right)=x^2-2x-1$.

1. Calculer les images de 0 ; de $\left(1+\sqrt{2}\right)$ et de $\left(1-\sqrt{2}\right)$.

   • $f\left(0\right)=-1$.

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   • $$\begin{array}{rcl}f\left(1+\sqrt{2}\right)& =& {\left(1+\sqrt{2}\right)}^2-2\times \left(1+\sqrt{2}\right)-1\\ & =& 1+2\sqrt{2}+2-2-2\sqrt{2}-1\\ & =& 0\end{array}$$

     $f\left(1+\sqrt{2}\right)=0$.

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   • $$\begin{array}{rcl}f\left(1-\sqrt{2}\right)& =& {\left(1-\sqrt{2}\right)}^2-2\times \left(1-\sqrt{2}\right)-1\\ & =& 1-2\sqrt{2}+2-2+2\sqrt{2}-1\\ & =& 0\end{array}$$

     $f\left(1-\sqrt{2}\right)=0$.

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2. Peut-on conclure que pour tout réel x, $f\left(x\right)$ est un entier relatif ?

   $$f\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)={\displaystyle \frac{1}{4}}-2\times {\displaystyle \frac{1}{2}}-1=-{\displaystyle \frac{7}{4}}$$

   L'image de ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ n'est pas un entier relatif, donc on ne peut pas affirmer que pour tout réel x, $f\left(x\right)$ est un entier relatif.

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