contrôle du 27 septembre 2016

Corrigé de l'exercice 4

Soit f la fonction définie sur l'intervalle $\left[-6;7\right]$ par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{4x-3}{x^2+1}}$.

1. Calculer l'image de $\left(-{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)$.

   $$\begin{array}{rcl}f\left(-{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)& =& {\displaystyle \frac{-2-3}{{\displaystyle \frac{1}{4}}+1}}\\ & =& {\displaystyle \frac{-5}{{\displaystyle \frac{5}{4}}}}\\ & =& -5\times {\displaystyle \frac{4}{5}}\\ & =& -4\end{array}$$

   $f\left(-{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)=-4$.

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2. Déterminer l'antécédent de 0 par la fonction f.

   L'antécédent de 0 par la fonction f est solution de l'équation $f\left(x\right)=1$. Soit $$\begin{array}{rclll}{\displaystyle \frac{4x-3}{x^2+1}}=0& \iff & 4x-3=0& \text{et}& x^2+1\ne 0\\ & \iff & x={\displaystyle \frac{3}{4}}& & \end{array}$$

   L'antécédent de 0 par la fonction f est ${\displaystyle \frac{3}{4}}$.

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3. Résoudre l'équation $f\left(x\right)=1$.

   $$\begin{array}{rcl}f\left(x\right)=1& \iff & {\displaystyle \frac{4x-3}{x^2+1}}=1\\ & \iff & {\displaystyle \frac{4x-3}{x^2+1}}-1=0\\ & \iff & {\displaystyle \frac{4x-3-\left(x^2+1\right)}{x^2+1}}=0\\ & \iff & {\displaystyle \frac{-x^2+4x-4}{x^2+1}}=0\\ & \iff & {\displaystyle \frac{-\left(x^2-4x+4\right)}{x^2+1}}=0\\ & \iff & {\displaystyle \frac{-{\left(x-2\right)}^2}{x^2+1}}=0\\ & \iff & x=2\end{array}$$

   L'équation $f\left(x\right)=1$ admet pour unique solution, $x=2$.

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4. La courbe $C_f$ représentative de la fonction f est tracée ci-dessous.

   À l'aide du graphique :

   1. donner le tableau de variation de la fonction f ;

      x	$-6$		$-{\displaystyle \frac{1}{2}}$		2		7
      $f\left(x\right)$	$-\frac{27}{37}$		$-4$		1		$\frac{1}{2}$

   2. déterminer le nombre de solutions de l'équation $f\left(x\right)=-{\displaystyle \frac{3}{2}}$.

      La droite d'équation $y=-{\displaystyle \frac{3}{2}}$ coupe la courbe $C_f$ en deux points donc l'équation $f\left(x\right)=-{\displaystyle \frac{3}{2}}$ admet deux solutions.

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