contrôle du 20 janvier 2017

Corrigé de l'exercice 1

Soit f une fonction polynôme du second degré dont la courbe représentative est la parabole de sommet $S\left({\displaystyle \frac{3}{2}};4\right)$ passant par le point $A\left({\displaystyle \frac{1}{2}};3\right)$.

1. Résoudre dans $ℝ$ l'équation $f\left(x\right)=3$.

   La courbe représentative de la fonction polynôme du second degré f est la parabole de sommet $S\left({\displaystyle \frac{3}{2}};4\right)$ passant par le point $A\left({\displaystyle \frac{1}{2}};3\right)$. Par conséquent, le point B symétrique du point A par rapport à la droite Δ d'équation $x={\displaystyle \frac{3}{2}}$ appartient à la parabole.

   On en déduit que la moyenne des abscisses des points A et B est égale à ${\displaystyle \frac{3}{2}}$. Soit :$$\begin{array}{ccc}{\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{2}}+x_B}{2}}={\displaystyle \frac{3}{2}}& \iff & x_B={\displaystyle \frac{5}{2}}\end{array}$$

   Le point B symétrique du point A par rapport à la droite Δ d'équation $x={\displaystyle \frac{3}{2}}$ a pour coordonnées $\left({\displaystyle \frac{5}{2}};3\right)$.

   L'ensemble des solutions de l'équation $f\left(x\right)=3$ est $𝒮=\left\{{\displaystyle \frac{1}{2}};{\displaystyle \frac{5}{2}}\right\}$.

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2. Montrer que pour tout réel x, $f\left(x\right)=4-{\left(x-{\displaystyle \frac{3}{2}}\right)}^2$.

   f est une fonction polynôme du second degré dont la parabole a pour sommet $S\left({\displaystyle \frac{3}{2}};4\right)$ donc la fonction f peut s'écrire sous la forme canonique :$$f\left(x\right)=a{\left(x-{\displaystyle \frac{3}{2}}\right)}^2+4$$

   Le point $A\left({\displaystyle \frac{1}{2}};3\right)$ appartient à la courbe représentative de la fonction f donc $f\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)=3$. D'où $$\begin{array}{ccc}a\times {\left({\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{3}{2}}\right)}^2+4=3& \iff & a=-1\end{array}$$

   Ainsi, f est la fonction définie pour tout réel x par $f\left(x\right)=4-{\left(x-{\displaystyle \frac{3}{2}}\right)}^2$.

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3. Donner le tableau de variation de la fonction f.

   Comme $a<0$, la fonction f admet un maximum atteint pour $x={\displaystyle \frac{3}{2}}$. D'où le tableau des variations de de la fonction f :

   x	$-\infty$		${\displaystyle \frac{3}{2}}$		$+\infty$
   $f\left(x\right)$			4

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4. Soit m un réel de l'intervalle $\left[-{\displaystyle \frac{3}{2}};{\displaystyle \frac{5}{2}}\right]$. Donner un encadrement de $f\left(m\right)$.

   • Sur l'intervalle $\left]-\infty ;{\displaystyle \frac{3}{2}}\right]$, la fonction f est croissante donc si $m\in \left[-{\displaystyle \frac{3}{2}};{\displaystyle \frac{3}{2}}\right]$ alors, $f\left(-{\displaystyle \frac{3}{2}}\right)⩽f\left(m\right)⩽f\left({\displaystyle \frac{3}{2}}\right)$. Soit $-5⩽f\left(m\right)⩽4$.

   • Sur l'intervalle $\left[{\displaystyle \frac{3}{2}};+\infty \right[$, la fonction f est décroissante donc si $m\in \left[{\displaystyle \frac{3}{2}};{\displaystyle \frac{5}{2}}\right]$ alors, $f\left({\displaystyle \frac{5}{2}}\right)⩽f\left(m\right)⩽f\left({\displaystyle \frac{3}{2}}\right)$. Soit $3⩽f\left(m\right)⩽4$.

   Si m est un réel de l'intervalle $\left[-{\displaystyle \frac{3}{2}};{\displaystyle \frac{5}{2}}\right]$ alors, $-5⩽f\left(m\right)⩽4$.

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5. Résoudre dans $ℝ$ l'inéquation $f\left(x\right)⩾0$.

   Pour tout réel x, $$\begin{array}{rcl}f\left(x\right)⩾0& \iff & 4-{\left(x-{\displaystyle \frac{3}{2}}\right)}^2⩾0\\ & \iff & \left(2-x+{\displaystyle \frac{3}{2}}\right)\left(2+x-{\displaystyle \frac{3}{2}}\right)⩾0\\ & \iff & \left({\displaystyle \frac{7}{2}}-x\right)\left(x+{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)⩾0\end{array}$$

   Étudions le signe du produit $\left({\displaystyle \frac{7}{2}}-x\right)\left(x+{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)$ à l'aide d'un tableau :

   x	$-\infty$		$-{\displaystyle \frac{1}{2}}$		${\displaystyle \frac{7}{2}}$		$+\infty$
   ${\displaystyle \frac{7}{2}}-x$		+	$|$	+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−
   $x+{\displaystyle \frac{1}{2}}$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+	$|$	+
   $f\left(x\right)=\left({\displaystyle \frac{7}{2}}-x\right)\left(x+{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−

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   L'ensemble solution de l'inéquation $f\left(x\right)⩾0$ est l'intervalle $I=\left[-{\displaystyle \frac{1}{2}};{\displaystyle \frac{7}{2}}\right]$.

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