contrôle du 24 novembre 2017

Corrigé de l'exercice 1

partie a

Soit f la fonction affine telle que $f\left(-3\right)=5$ et $f\left(\mathrm{0,5}\right)=-2$.

1. Dans le repère donné en annexe ci-dessous, tracer la droite 𝒟 représentative de la fonction f.

   La droite 𝒟 passe par les points de coordonnées $\left(-3;5\right)$ et $\left(\mathrm{0,5};-2\right)$

2. Déterminer l'expression de $f\left(x\right)$ en fonction de x.

   La fonction affine f est définie pour tout réel x par $f\left(x\right)=ax+b$ avec $$\begin{array}{ccc}a={\displaystyle \frac{f\left(\mathrm{0,5}\right)-f\left(-3\right)}{\mathrm{0,5}-\left(-3\right)}}& \text{Soit}& a={\displaystyle \frac{-2-5}{\mathrm{3,5}}}=-2\end{array}$$

   Ainsi, f est la fonction définie pour tout réel x par $f\left(x\right)=-2x+b$. Or $f\left(\mathrm{0,5}\right)=-2$ d'où $$-1+b=-2\iff b=-1$$

   f est la fonction définie pour tout réel x par $f\left(x\right)=-2x-1$.

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3. Résoudre l'inéquation $f\left(x\right)⩽0$.

   Pour tout réel x, $$\begin{array}{rcll}-2x-1⩽0& \iff & -2x⩽1& \\ & \iff & x⩾-{\displaystyle \frac{1}{2}}& \text{multiplication par un réel négatif !}\end{array}$$

   L'ensemble des solutions de l'inéquation $f\left(x\right)⩽0$ est $S=\left[-{\displaystyle \frac{1}{2}};+\infty \right[$.

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partie b

La courbe 𝒞 tracée en annexe ci-dessous, est la courbe représentative de la fonction g définie pour tout réel x par $g\left(x\right)=x^2$.

1. Donner une expression factorisée de $g\left(x\right)-f\left(x\right)$.

   Pour tout réel x, $$\begin{array}{rcl}g\left(x\right)-f\left(x\right)& =& x^2-\left(-2x-1\right)\\ & =& x^2+2x+1\\ & =& {\left(x+1\right)}^2\end{array}$$

   Ainsi, $g\left(x\right)-f\left(x\right)={\left(x+1\right)}^2$.

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2. En déduire les positions relatives de la courbe 𝒞 et de la droite 𝒟.

   Les positions relatives de la courbe 𝒞 et de la droite 𝒟 se déduisent du signe de $g\left(x\right)-f\left(x\right)={\left(x+1\right)}^2$. Or pour tout réel x, ${\left(x+1\right)}^2⩾0$.

   La courbe 𝒞 est au dessus de la droite 𝒟. La droite 𝒟 n'a qu'un seul point commun avec la courbe 𝒞 : le point A d'abscisse $\left(-1\right)$.

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