contrôles en seconde

contrôle du 24 novembre 2017

Corrigé de l'exercice 2

Soit f la fonction définie sur $ℝ$ par $f (x) = 9 x^{2} - {(5 x - 3)}^{2}$ .

Factoriser l'expression de $f (x)$ .
Pour tout réel x, $\begin{array}{rcl} 9 x^{2} - {(5 x - 3)}^{2} & = & [3 x - (5 x - 3)] \times [3 x + (5 x - 3)] \\ = & (3 x - 5 x + 3) (3 x + 5 x + 3) \\ = & (- 2 x + 3) (8 x - 3) \end{array}$
Pour tout réel x, $f (x) = (- 2 x + 3) (8 x - 3)$ .
Donner le tableau de signes de la fonction f.
Étudions le signe du produit $(- 2 x + 3) (8 x - 3)$ à l'aide d'un tableau.
Pour tout réel x, $\begin{matrix} - 2 x + 3 ⩽ 0 & \Leftrightarrow & x ⩾ \frac{3}{2} \\ et & 8 x - 3 ⩽ 0 & \Leftrightarrow & x ⩽ \frac{3}{8} \end{matrix}$
On en déduit le tableau de signes :
x
$- \infty$ $\frac{3}{8}$ $\frac{3}{2}$ $+ \infty$
$- 2 x + 3$ + $|$ + $0_{|}^{|}$ −
$8 x - 3$ − $0_{|}^{|}$ + $|$ +
$f (x) = (- 2 x + 3) (8 x - 3)$ − $0_{|}^{|}$ + $0_{|}^{|}$ −

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x	$- \infty$		$\frac{3}{8}$		$\frac{3}{2}$		$+ \infty$
$- 2 x + 3$		+	$\|$	+	$0_{\|}^{\|}$	−
$8 x - 3$		−	$0_{\|}^{\|}$	+	$\|$	+
$f (x) = (- 2 x + 3) (8 x - 3)$		−	$0_{\|}^{\|}$	+	$0_{\|}^{\|}$	−