contrôle du 24 novembre 2017

Corrigé de l'exercice 4

ABC est un triangle.

1. Placer le point D défini par $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$. Quelle est la nature du quadrilatère ABDC ?

   $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$ donc ABDC est un parallélogramme.

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2. Soit I le milieu du segment [BC]. Placer le point G défini par $\overrightarrow{AG}={\displaystyle \frac{2}{3}}\overrightarrow{AI}$.

3. Les points G, I et D sont-ils alignés ?

   • D'après la relation de Chasles : $$\begin{array}{rcl}\overrightarrow{GI}=\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{AI}& \text{soit}& \overrightarrow{GI}=-{\displaystyle \frac{2}{3}}\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{AI}={\displaystyle \frac{1}{3}}\overrightarrow{AI}\end{array}$$

   • ABDC est un parallélogramme donc les diagonales [AD] et [BC] ont le même milieu I. Par conséquent, $\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{ID}$.

   Ainsi, $\overrightarrow{GI}={\displaystyle \frac{1}{3}}\overrightarrow{ID}$.

   Les vecteurs $\overrightarrow{GI}$ et $\overrightarrow{ID}$ sont colinéaires donc les points G, I et D sont alignés.

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