contrôle du 11 décembre 2017

Corrigé de l'exercice 1

Soit f la fonction définie sur $ℝ$ par $f\left(x\right)=\left(9x^2-16\right)-\left(3x-4\right)\left(2-5x\right)$.

1. Calculer $f\left(-{\displaystyle \frac{3}{4}}\right)$.

   $$\begin{array}{rcl}f\left(-{\displaystyle \frac{3}{4}}\right)& =& 9\times {\left(-{\displaystyle \frac{3}{4}}\right)}^2-16-\left(3\times \left(-{\displaystyle \frac{3}{4}}\right)-4\right)\times \left(2-5\times \left(-{\displaystyle \frac{3}{4}}\right)\right)\\ & =& {\displaystyle \frac{81}{16}}-16-\left(-{\displaystyle \frac{25}{4}}\right)\times {\displaystyle \frac{23}{4}}\\ & =& 25\end{array}$$

   Ainsi, $f\left(-{\displaystyle \frac{3}{4}}\right)=25$.

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2. Factoriser l'expression de $f\left(x\right)$.

   Pour tout réel x, $$\begin{array}{rcl}\left(9x^2-16\right)-\left(3x-4\right)\left(2-5x\right)& =& \left(3x-4\right)\left(3x+4\right)-\left(3x-4\right)\left(2-5x\right)\\ & =& \left(3x-4\right)\times \left[\left(3x+4\right)-\left(2-5x\right)\right]\\ & =& \left(3x-4\right)\left(3x+4-2+5x\right)\\ & =& \left(3x-4\right)\left(8x+2\right)\end{array}$$

   Pour tout réel x, $f\left(x\right)=\left(3x-4\right)\left(8x+2\right)$.

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3. Résoudre l'inéquation $f\left(x\right)⩽0$.

   Étudions le signe du produit $\left(3x-4\right)\left(8x+2\right)$ à l'aide d'un tableau. Pour tout réel x, $$\begin{array}{cccc}& 3x-4⩽0& \iff & x⩽{\displaystyle \frac{4}{3}}\hfill \\ \text{et}& 8x+2⩽0& \iff & x⩽-{\displaystyle \frac{1}{4}}\hfill \end{array}$$

   On en déduit le tableau de signes :

   x	$-\infty$		$-{\displaystyle \frac{1}{4}}$		${\displaystyle \frac{4}{3}}$		$+\infty$
   $3x-4$		−	$|$	−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+
   $8x+2$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+	$|$	+
   $f\left(x\right)=\left(3x-4\right)\left(8x+2\right)$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+

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   L'ensemble des solutions de l'inéquation $f\left(x\right)⩽0$ est $S=\left[-{\displaystyle \frac{1}{4}};{\displaystyle \frac{4}{3}}\right]$.

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