contrôles en seconde

contrôle du 11 décembre 2017

Corrigé de l'exercice 1

Soit f la fonction définie sur $ℝ$ par $f (x) = (4 x^{2} - 25) - (2 x - 5) (2 - 3 x)$ .

Calculer $f (- \frac{3}{2})$ .
$\begin{array}{rcl} f (- \frac{3}{2}) & = & 4 \times {(- \frac{3}{2})}^{2} - 25 - (2 \times (- \frac{3}{2}) - 5) \times (2 - 3 \times (- \frac{3}{2})) \\ = & 9 - 25 - (- 8) \times \frac{13}{2} \\ = & 36 \end{array}$
Ainsi, $f (- \frac{3}{2}) = 36$ .
Factoriser l'expression de $f (x)$ .
Pour tout réel x, $\begin{array}{rcl} (4 x^{2} - 25) - (2 x - 5) (2 - 3 x) & = & (2 x - 5) (2 x + 5) - (2 x - 5) (2 - 3 x) \\ = & (2 x - 5) \times [(2 x + 5) - (2 - 3 x)] \\ = & (2 x - 5) (2 x + 5 - 2 + 3 x) \\ = & (2 x - 5) (5 x + 3) \end{array}$
Pour tout réel x, $f (x) = (2 x - 5) (5 x + 3)$ .
Résoudre l'inéquation $f (x) ⩽ 0$ .
Étudions le signe du produit $(2 x - 5) (5 x + 3)$ à l'aide d'un tableau. Pour tout réel x, $\begin{matrix} 2 x - 5 ⩽ 0 & \Leftrightarrow & x ⩽ \frac{5}{2} \\ et & 5 x + 3 ⩽ 0 & \Leftrightarrow & x ⩽ - \frac{3}{5} \end{matrix}$
On en déduit le tableau de signes :
x
$- \infty$ $- \frac{3}{5}$ $\frac{5}{2}$ $+ \infty$
$2 x - 5$ − $|$ − $0_{|}^{|}$ +
$5 x + 3$ − $0_{|}^{|}$ + $|$ +
$f (x) = (2 x - 5) (5 x + 3)$ + $0_{|}^{|}$ − $0_{|}^{|}$ +
L'ensemble des solutions de l'inéquation $f (x) ⩽ 0$ est $S = [- \frac{3}{5}; \frac{5}{2}]$ .

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x	$- \infty$		$- \frac{3}{5}$		$\frac{5}{2}$		$+ \infty$
$2 x - 5$		−	$\|$	−	$0_{\|}^{\|}$	+
$5 x + 3$		−	$0_{\|}^{\|}$	+	$\|$	+
$f (x) = (2 x - 5) (5 x + 3)$		+	$0_{\|}^{\|}$	−	$0_{\|}^{\|}$	+