contrôle du 11 décembre 2017

Corrigé de l'exercice 2

Le plan est muni d'un repère orthonormé $\left(\mathrm{O};\overrightarrow{𝚤},\overrightarrow{𝚥}\right)$. La figure sera complétée tout au long des questions.

1. Placer les points $A\left(1;{\displaystyle \frac{11}{2}}\right)$, $B\left(-5;{\displaystyle \frac{3}{2}}\right)$, $C\left(-{\displaystyle \frac{1}{2}};-{\displaystyle \frac{3}{2}}\right)$ et $E\left(-1;-{\displaystyle \frac{9}{2}}\right)$.

2. 1. Calculer les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$.

      Les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$ sont :$$\begin{array}{ccccc}\overrightarrow{AB}\left(x_B-x_A;y_B-y_A\right)& \text{Soit}& \overrightarrow{AB}\left(-5-1;{\displaystyle \frac{3}{2}}-{\displaystyle \frac{11}{2}}\right)& \text{d'où}& \overrightarrow{AB}\left(-6;-4\right)\end{array}$$

      Le vecteur $\overrightarrow{AB}$ a pour coordonnées $\overrightarrow{AB}\left(-6;-4\right)$.

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   2. Calculer les coordonnées du point D tel que le quadrilatère ABCD soit un parallélogramme.

      Le quadrilatère ABCD est un parallélogramme si, et seulement si, $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$.

      Soit $\left(x;y\right)$ les coordonnées du point D. Le vecteur $\overrightarrow{DC}$ a pour coordonnées : $\overrightarrow{DC}\left(-{\displaystyle \frac{1}{2}}-x;-{\displaystyle \frac{3}{2}}-y\right)$. Par conséquent, $$\begin{array}{rclll}\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}& \iff & \{\begin{array}{l}-{\displaystyle \frac{1}{2}}-x=-6\\ -{\displaystyle \frac{3}{2}}-y=-4\end{array}& \iff & \{\begin{array}{l}x={\displaystyle \frac{11}{2}}\\ y={\displaystyle \frac{5}{2}}\end{array}\end{array}$$

      Le point D a pour coordonnées $D\left({\displaystyle \frac{11}{2}};{\displaystyle \frac{5}{2}}\right)$.

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3. Calculer les coordonnées du point M centre du parallélogramme ABCD.

   Le point M est le centre du parallélogramme ABCD donc M est le milieu des diagonales [AC] et [BD].
   Les coordonnées $\left(x_M;y_M\right)$ du point M milieu du segment [AC] sont :$$\begin{array}{ccc}{x}_M={\displaystyle \frac{x_A+x_C}{2}}& \text{Soit}& x_M={\displaystyle \frac{1-{\displaystyle \frac{1}{2}}}{2}}={\displaystyle \frac{1}{4}}\\ y_M={\displaystyle \frac{y_A+y_C}{2}}& \text{Soit}& y_M={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{11}{2}}-{\displaystyle \frac{3}{2}}}{2}}=2\end{array}$$

   Le point M a pour coordonnées $M\left({\displaystyle \frac{1}{4}};2\right)$.

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4. Les points A, M et E sont-ils alignés ?

   Les points A, M et E sont alignés si, et seulement si, les vecteurs $\overrightarrow{AM}$ et $\overrightarrow{AE}$ sont colinéaires.

   Les vecteurs $\overrightarrow{AM}$ et $\overrightarrow{AE}$ ont pour coordonnées : $$\begin{array}{rlcl}& \overrightarrow{AM}\left({\displaystyle \frac{1}{4}}-1;2-{\displaystyle \frac{11}{2}}\right)& \text{soit}& \overrightarrow{AM}\left(-{\displaystyle \frac{3}{4}};-{\displaystyle \frac{7}{2}}\right)\\ \text{et}& \overrightarrow{AE}\left(-1-1;-{\displaystyle \frac{9}{2}}-{\displaystyle \frac{11}{2}}\right)& \text{soit}& \overrightarrow{AE}\left(-2;-10\right)\end{array}$$

   Comme $\left(-{\displaystyle \frac{3}{4}}\right)\times \left(-10\right)-\left(-2\right)\times \left(-{\displaystyle \frac{7}{2}}\right)={\displaystyle \frac{1}{2}}$, les vecteurs $\overrightarrow{AM}$ et $\overrightarrow{AE}$ ne sont pas colinéaires.

   Les vecteurs $\overrightarrow{AM}$ et $\overrightarrow{AE}$ ne sont pas colinéaires donc les points A, M et E ne sont pas alignés.

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5. 1. Calculer les distances AB, BE et AE.

      Le plan est muni d'un repère orthonormé d'où :$$\begin{array}{rcl}AB=\sqrt{{\left(x_B-x_A\right)}^2+{\left(y_B-y_A\right)}^2}& \text{Soit}& AB=\sqrt{{\left(-6\right)}^2+{\left(-4\right)}^2}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}\\ BE=\sqrt{{\left(x_E-x_B\right)}^2+{\left(y_E-y_B\right)}^2}& \text{Soit}& BE=\sqrt{{\left(-1+5\right)}^2+{\left(-{\displaystyle \frac{9}{2}}-{\displaystyle \frac{3}{2}}\right)}^2}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}\\ AE=\sqrt{{\left(x_E-x_A\right)}^2+{\left(y_E-y_A\right)}^2}& \text{Soit}& AE=\sqrt{{\left(-2\right)}^2+{\left(-10\right)}^2}=\sqrt{104}=2\sqrt{26}\end{array}$$

      Ainsi, $AB=BE=2\sqrt{13}$ et $AE=2\sqrt{26}$.

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   2. Quelle est la nature du triangle ABE ?

      ${AE}^2={AB}^2+{BE}^2$ alors, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABE est rectangle en B.

      Comme d'autre part, $AB=BE$ le triangle ABE est isocèle.

      ABE est un triangle rectangle isocèle.

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