contrôles en seconde

contrôle du 11 décembre 2017

Corrigé de l'exercice 2

Le plan est muni d'un repère orthonormé (O;𝚤,𝚥). La figure sera complétée tout au long des questions.

  1. Placer les points A(1;112), B(-5;32), C(-12;-32) et E(-1;-92).

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    1. Calculer les coordonnées du vecteur AB.

      Les coordonnées du vecteur AB sont :AB(xB-xA;yB-yA)SoitAB(-5-1;32-112)d'oùAB(-6;-4)

      Le vecteur AB a pour coordonnées AB(-6;-4).


    2. Calculer les coordonnées du point D tel que le quadrilatère ABCD soit un parallélogramme.

      Le quadrilatère ABCD est un parallélogramme si, et seulement si, AB=DC.

      Soit (x;y) les coordonnées du point D. Le vecteur DC a pour coordonnées : DC(-12-x;-32-y). Par conséquent, AB=DC{-12-x=-6-32-y=-4{x=112y=52

      Le point D a pour coordonnées D(112;52).


  2. Calculer les coordonnées du point M centre du parallélogramme ABCD.

    Le point M est le centre du parallélogramme ABCD donc M est le milieu des diagonales [AC] et [BD].
    Les coordonnées (xM;yM) du point M milieu du segment [AC] sont :xM=xA+xC2SoitxM=1-122=14yM=yA+yC2SoityM=112-322=2

    Le point M a pour coordonnées M(14;2).


  3. Les points A, M et E sont-ils alignés ?

    Les points A, M et E sont alignés si, et seulement si, les vecteurs AM et AE sont colinéaires.

    Les vecteurs AM et AE ont pour coordonnées : AM(14-1;2-112)soitAM(-34;-72)etAE(-1-1;-92-112)soitAE(-2;-10)

    Comme (-34)×(-10)-(-2)×(-72)=12, les vecteurs AM et AE ne sont pas colinéaires.

    Les vecteurs AM et AE ne sont pas colinéaires donc les points A, M et E ne sont pas alignés.


    1. Calculer les distances AB, BE et AE.

      Le plan est muni d'un repère orthonormé d'où :AB=(xB-xA)2+(yB-yA)2SoitAB=(-6)2+(-4)2=52=213BE=(xE-xB)2+(yE-yB)2SoitBE=(-1+5)2+(-92-32)2=52=213AE=(xE-xA)2+(yE-yA)2SoitAE=(-2)2+(-10)2=104=226

      Ainsi, AB=BE=213 et AE=226.


    2. Quelle est la nature du triangle ABE ?

      AE2=AB2+BE2 alors, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABE est rectangle en B.

      Comme d'autre part, AB=BE le triangle ABE est isocèle.

      ABE est un triangle rectangle isocèle.



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