contrôle du 11 décembre 2017

Corrigé de l'exercice 2

Le plan est muni d'un repère orthonormé $\left(\mathrm{O};\overrightarrow{𝚤},\overrightarrow{𝚥}\right)$. La figure sera complétée tout au long des questions.

1. Placer les points $A\left(-{\displaystyle \frac{1}{2}};5\right)$, $B\left({\displaystyle \frac{11}{2}};1\right)$, $C\left(1;-3\right)$ et $E\left({\displaystyle \frac{3}{2}};-5\right)$.

2. 1. Calculer les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$.

      Les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$ sont :$$\begin{array}{ccccc}\overrightarrow{AB}\left(x_B-x_A;y_B-y_A\right)& \text{Soit}& \overrightarrow{AB}\left({\displaystyle \frac{11}{2}}-\left(-{\displaystyle \frac{1}{2}}\right);1-5\right)& \text{d'où}& \overrightarrow{AB}\left(6;-4\right)\end{array}$$

      Le vecteur $\overrightarrow{AB}$ a pour coordonnées $\overrightarrow{AB}\left(6;-4\right)$.

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   2. Calculer les coordonnées du point D tel que le quadrilatère ABCD soit un parallélogramme.

      Le quadrilatère ABCD est un parallélogramme si, et seulement si, $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$.

      Soit $\left(x;y\right)$ les coordonnées du point D. Le vecteur $\overrightarrow{DC}$ a pour coordonnées : $\overrightarrow{DC}\left(1-x;-3-y\right)$. Par conséquent, $$\begin{array}{rclll}\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}& \iff & \{\begin{array}{l}1-x=6\\ -3-y=-4\end{array}& \iff & \{\begin{array}{l}x=-5\\ y=1\end{array}\end{array}$$

      Le point D a pour coordonnées $D\left(-5;1\right)$.

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3. Calculer les coordonnées du point M centre du parallélogramme ABCD.

   Le point M est le centre du parallélogramme ABCD donc M est le milieu des diagonales [AC] et [BD].
   Les coordonnées $\left(x_M;y_M\right)$ du point M milieu du segment [AC] sont :$$\begin{array}{ccc}{x}_M={\displaystyle \frac{x_A+x_C}{2}}& \text{Soit}& x_M={\displaystyle \frac{-{\displaystyle \frac{1}{2}}+1}{2}}={\displaystyle \frac{1}{4}}\\ y_M={\displaystyle \frac{y_A+y_C}{2}}& \text{Soit}& y_M={\displaystyle \frac{5-3}{2}}=1\end{array}$$

   Le point M a pour coordonnées $M\left({\displaystyle \frac{1}{4}};1\right)$.

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4. Les points A, M et E sont-ils alignés ?

   Les points A, M et E sont alignés si, et seulement si, les vecteurs $\overrightarrow{AM}$ et $\overrightarrow{AE}$ sont colinéaires.

   Les vecteurs $\overrightarrow{AM}$ et $\overrightarrow{AE}$ ont pour coordonnées : $$\begin{array}{rlcl}& \overrightarrow{AM}\left({\displaystyle \frac{1}{4}}+{\displaystyle \frac{1}{2}};1-5\right)& \text{soit}& \overrightarrow{AM}\left({\displaystyle \frac{3}{4}};-4\right)\\ \text{et}& \overrightarrow{AE}\left({\displaystyle \frac{3}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{2}};-5-5\right)& \text{soit}& \overrightarrow{AE}\left(2;-10\right)\end{array}$$

   Comme ${\displaystyle \frac{3}{4}}\times \left(-10\right)-2\times \left(-4\right)={\displaystyle \frac{1}{2}}$, les vecteurs $\overrightarrow{AM}$ et $\overrightarrow{AE}$ ne sont pas colinéaires.

   Les vecteurs $\overrightarrow{AM}$ et $\overrightarrow{AE}$ ne sont pas colinéaires donc les points A, M et E ne sont pas alignés.

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5. 1. Calculer les distances AB, BE et AE.

      Le plan est muni d'un repère orthonormé d'où :$$\begin{array}{rcl}AB=\sqrt{{\left(x_B-x_A\right)}^2+{\left(y_B-y_A\right)}^2}& \text{Soit}& AB=\sqrt{6^2+{\left(-4\right)}^2}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}\\ BE=\sqrt{{\left(x_E-x_B\right)}^2+{\left(y_E-y_B\right)}^2}& \text{Soit}& BE=\sqrt{{\left({\displaystyle \frac{3}{2}}-{\displaystyle \frac{11}{2}}\right)}^2+{\left(-5-1\right)}^2}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}\\ AE=\sqrt{{\left(x_E-x_A\right)}^2+{\left(y_E-y_A\right)}^2}& \text{Soit}& AE=\sqrt{2^2+{\left(-10\right)}^2}=\sqrt{104}=2\sqrt{26}\end{array}$$

      Ainsi, $AB=BE=2\sqrt{13}$ et $AE=2\sqrt{26}$.

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   2. Quelle est la nature du triangle ABE ?

      ${AE}^2={AB}^2+{BE}^2$ alors, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABE est rectangle en B.

      Comme d'autre part, $AB=BE$ le triangle ABE est isocèle.

      ABE est un triangle rectangle isocèle.

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