contrôles en terminale ES

bac blanc du 12 février 2009

correction de l'exercice 1 : commun à tous les Élèves

Cet exercice est un Q.C.M (Questionnaire à Choix Multiples). Chaque question admet une seule réponse exacte : a, b ou c. Pour chacune des questions indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.
Barème : Une bonne réponse rapporte 0,5 point. Une mauvaise réponse enlève 0,25 point. L'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point. Si le total des points de l'exercice est négatif, la note globale attribuée à l'exercice est ramenée à 0.

questions	réponses
Q1	D'une année sur l'autre, un produit perd 5% de sa valeur. Le produit a perdu au moins 50% de sa valeur initiale au bout de : Le coefficient multiplicateur associé à une baisse annuelle de 5% est 0,95. Au bout de n années le coefficient multiplicateur associé à la variation en pourcentage du prix du produit est ${0,95}^{n}$ . Le coefficient multiplicateur associé à une baisse de 50% est 0,5. Donc n est le plus petit entier tel que : $\begin{array}{l} {0,95}^{n} ⩽ 0,5 & \Leftrightarrow & n \ln 0,95 ⩽ \ln 0,5 \\ \Leftrightarrow & n ⩾ \frac{\ln 0,5}{\ln 0,95} & (\ln 0,95 < 0) \end{array}$ Or $\frac{\ln 0,5}{\ln 0,95} \approx 13,5$ donc le plus petit entier $n ⩾ \frac{\ln 0,5}{\ln 0,95}$ est $n = 14$	10 années 13 années 14 années
Q2	Pour tous réels a et b, strictement positifs, $\ln (a^{2}) - \ln (a b)$ est égal à : a et b sont deux réels strictement positifs, alors d'après les propriétés de la fonction ln : $\ln (a^{2}) - \ln (a b) = \ln (\frac{a^{2}}{a b}) = \ln (\frac{a}{b})$	$\ln (\frac{a}{b})$ $\ln (a - b)$ $\frac{\ln (a)}{\ln (a)}$
Q3	F est la primitive de la fonction f définie sur $] 0; + \infty [$ par $f (x) = \frac{1}{x}$ telle que $F (1) = - 1$ . On a : Par définition, la fonction logarithme népérien est la primitive de la fonction f qui s'annule en 1. Par conséquent, F est la fonction définie sur $] 0; + \infty [$ par $F (x) = \ln (x) + c$ . Or $\begin{array}{l} F (1) = - 1 & \Leftrightarrow & \ln (1) + c = - 1 & \Leftrightarrow & c = - 1 \end{array}$ Donc F est la fonction définie sur $] 0; + \infty [$ par $F (x) = \ln (x) - 1$ et $F (e) = \ln (e) - 1 = 0$	$F (e) = 1$ $F (e) = 0$ $F (e^{2}) = 2$

questions

réponses

D'une année sur l'autre, un produit perd 5% de sa valeur. Le produit a perdu au moins 50% de sa valeur initiale au bout de :

Le coefficient multiplicateur associé à une baisse annuelle de 5% est 0,95.
Au bout de n années le coefficient multiplicateur associé à la variation en pourcentage du prix du produit est ${0,95}^{n}$ .

Le coefficient multiplicateur associé à une baisse de 50% est 0,5. Donc n est le plus petit entier tel que : $\begin{array}{l} {0,95}^{n} ⩽ 0,5 & \Leftrightarrow & n \ln 0,95 ⩽ \ln 0,5 \\ \Leftrightarrow & n ⩾ \frac{\ln 0,5}{\ln 0,95} & (\ln 0,95 < 0) \end{array}$

Or $\frac{\ln 0,5}{\ln 0,95} \approx 13,5$ donc le plus petit entier $n ⩾ \frac{\ln 0,5}{\ln 0,95}$ est $n = 14$

10 années
13 années
14 années

Pour tous réels a et b, strictement positifs, $\ln (a^{2}) - \ln (a b)$ est égal à :

a et b sont deux réels strictement positifs, alors d'après les propriétés de la fonction ln : $\ln (a^{2}) - \ln (a b) = \ln (\frac{a^{2}}{a b}) = \ln (\frac{a}{b})$

$\ln (\frac{a}{b})$
$\ln (a - b)$
$\frac{\ln (a)}{\ln (a)}$

F est la primitive de la fonction f définie sur $] 0; + \infty [$ par $f (x) = \frac{1}{x}$ telle que $F (1) = - 1$ . On a :

Par définition, la fonction logarithme népérien est la primitive de la fonction f qui s'annule en 1.

Par conséquent, F est la fonction définie sur $] 0; + \infty [$ par $F (x) = \ln (x) + c$ . Or $\begin{array}{l} F (1) = - 1 & \Leftrightarrow & \ln (1) + c = - 1 & \Leftrightarrow & c = - 1 \end{array}$

Donc F est la fonction définie sur $] 0; + \infty [$ par $F (x) = \ln (x) - 1$ et $F (e) = \ln (e) - 1 = 0$

$F (e) = 1$
$F (e) = 0$
$F (e^{2}) = 2$

Pour toutes les questions suivantes, on donne ci-dessous le tableau de variations d'une fonction f définie et dérivable sur $] - 3; + \infty [$ . On appelle (C) sa courbe représentative dans un repère.

x	− 3	− 2	1	3	$+ \infty$
$f (x)$	$+ \infty$		− 2		1

questions	réponses
Q4	F désigne une primitive de f sur $] - 3; + \infty [$ . F est : Dire que F est une primitive de f signifie que pour tout réel x de l'intervalle $] - 3; + \infty [$ , $F' (x) = f (x)$ . Par conséquent, les variations de F se déduisent du signe de f sur $] - 3; + \infty [$ . Or $f (x) < 0$ pour $- 2 < x < 3$ . Donc F est strictement décroissante sur $] - 2; 3 [$	strictement décroissante sur $] - 2; 3 [$ strictement décroissante sur $] - 3; 1 [$ strictement croissante sur $] - 2; 3 [$
Q5	La courbe (C) admet pour asymptote la droite d'équation : $\lim_{x \to - 3} f (x) = + \infty$ donc la droite d'équation $x = - 3$ est asymptote à la courbe (C).	$y = - 3$ $x = 1$ $x = - 3$
Q6	g est la fonction définie par $g (x) = \ln [f (x)]$ sur l'intervalle $] 3; + \infty [$ . On peut affirmer que : D'après le tableau des variations de la fonction f, $\lim_{x \to + \infty} f (x) = 1$ . Pour tout réel x de l'intervalle $] 3; + \infty [$ , $\begin{array}{l} 0 < f (x) < 1 & \Leftrightarrow & \ln [f (x)] < \ln (1) \\ \Leftrightarrow & g (x) < 0 \end{array}$	$0 < g (x) < 1$ $g (x) > 0$ $g (x) < 0$

questions

réponses

F désigne une primitive de f sur $] - 3; + \infty [$ . F est :

Dire que F est une primitive de f signifie que pour tout réel x de l'intervalle $] - 3; + \infty [$ , $F' (x) = f (x)$ . Par conséquent, les variations de F se déduisent du signe de f sur $] - 3; + \infty [$ .

Or $f (x) < 0$ pour $- 2 < x < 3$ . Donc F est strictement décroissante sur $] - 2; 3 [$

strictement décroissante sur $] - 2; 3 [$
strictement décroissante sur $] - 3; 1 [$
strictement croissante sur $] - 2; 3 [$

La courbe (C) admet pour asymptote la droite d'équation :

$\lim_{x \to - 3} f (x) = + \infty$ donc la droite d'équation $x = - 3$ est asymptote à la courbe (C).

$y = - 3$
$x = 1$
$x = - 3$

g est la fonction définie par $g (x) = \ln [f (x)]$ sur l'intervalle $] 3; + \infty [$ . On peut affirmer que :

D'après le tableau des variations de la fonction f, $\lim_{x \to + \infty} f (x) = 1$ . Pour tout réel x de l'intervalle $] 3; + \infty [$ , $\begin{array}{l} 0 < f (x) < 1 & \Leftrightarrow & \ln [f (x)] < \ln (1) \\ \Leftrightarrow & g (x) < 0 \end{array}$

$0 < g (x) < 1$
$g (x) > 0$
$g (x) < 0$

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