bac blanc du 12 février 2009

correction de l'exercice 4 : commun à tous les Élèves

PARTIE A

On considère la fonction f définie sur $ℝ$ par $f\left(x\right)=1-{\displaystyle \frac{2x}{x^2+1}}$.

1. Étudier le signe de f suivant les valeurs du réel x.

   Pour tout réel x, $$1-{\displaystyle \frac{2x}{x^2+1}}={\displaystyle \frac{x^2+1-2x}{x^2+1}}={\displaystyle \frac{{\left(x-1\right)}^2}{x^2+1}}$$

   Ainsi, pour tout réel x, $f\left(x\right)⩾0$ et $f\left(1\right)=0$.

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2. 1. Montrer que les primitives de la fonction f sont les fonctions G définies sur $ℝ$ par $G\left(x\right)=x-\ln \left(x^2+1\right)+c$ où c est un nombre réel.

      Pour tout réel x, posons $u\left(x\right)=x^2+1$. Nous avons pour tout tout réel x, $u\left(x\right)>0$ et $u\prime \left(x\right)=2x$.

      Par conséquent, pour tout réel x, $f\left(x\right)=1-{\displaystyle \frac{u\prime \left(x\right)}{u\left(x\right)}}$

      Or u est une fonction dérivable, strictement positive sur $ℝ$, donc une primitive de la fonction ${\displaystyle \frac{u\prime }{u}}$ sur $ℝ$ est la fonction $\ln \left(u\right):x\mapsto \ln \left(x^2+1\right)$

      Ainsi, les primitives de la fonction f sont les fonctions G définies sur $ℝ$ par $G\left(x\right)=x-\ln \left(x^2+1\right)+c$.

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      remarque :

      Pour montrer que G est une primitive de f, on peut également calculer $G\prime \left(x\right)$ et vérifier que pour tout réel x, $G\prime \left(x\right)=f\left(x\right)$.

   2. En déduire que la primitive F de la fonction f telle que $F\left(3\right)=\mathrm{1,2}$ est la fonction F définie sur $ℝ$ par $F\left(x\right)=x+\ln \left({\displaystyle \frac{10}{x^2+1}}\right)-\mathrm{1,8}$

      F est la primitive de la fonction f telle que $F\left(3\right)=\mathrm{1,2}$ donc pour tout réel x, $F\left(x\right)=x-\ln \left(x^2+1\right)+c$ avec c solution de l'équation $$\begin{array}{ccc}3-\ln \left(10\right)+c=\mathrm{1,2}& \iff & c=\ln \left(10\right)-\mathrm{1,8}\end{array}$$

      Nous avons donc pour tout réel x, $$\begin{array}{ccc}F\left(x\right)=x-\ln \left(x^2+1\right)+\ln \left(10\right)-\mathrm{1,8}& \iff & F\left(x\right)=x+\ln \left({\displaystyle \frac{10}{x^2+1}}\right)-\mathrm{1,8}\end{array}$$

      F est la fonction définie sur $ℝ$ par $F\left(x\right)=x+\ln \left({\displaystyle \frac{10}{x^2+1}}\right)-\mathrm{1,8}$

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   3. Calculer $\underset{x\to -\infty }{\lim }F\left(x\right)$.

      $\underset{x\to -\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{10}{x^2+1}}=0$ et $\underset{X\to 0}{\lim }\ln \left(X\right)=-\infty$ alors par compostion, $\underset{x\to -\infty }{\lim }\ln \left({\displaystyle \frac{10}{x^2+1}}\right)=-\infty$. Donc $\underset{x\to -\infty }{\lim }x+\ln \left({\displaystyle \frac{10}{x^2+1}}\right)-\mathrm{1,8}=-\infty$

      $\underset{x\to -\infty }{\lim }F\left(x\right)=-\infty$

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   4. Étudier le sens de variation de F sur $ℝ$.

      F est une primitive de la fonction f sur $ℝ$ alors pour tout réel x, $F\prime \left(x\right)=f\left(x\right)$. Or d'après la première question, pour tout réel x, $f\left(x\right)⩾0$.

      F est une fonction croissante sur $ℝ$

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3. La courbe représentative de la fonction F dans un repère du plan est tracée ci-dessous. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe au point d'abscisse 3.
   Tracer la tangente T dans le même repère.

   Une équation de la tangente T à la courbe courbe représentative de la fonction F au point au point d'abscisse 3 est :$$y=F\prime \left(3\right)\times \left(x-3\right)+F\left(3\right)$$

   Or $$\begin{array}{ccc}F\prime \left(3\right)=f\left(3\right)=1-{\displaystyle \frac{2\times 3}{3^2+1}}=\mathrm{0,4}& \text{et}& F\left(3\right)=\mathrm{1,2}\end{array}$$

   D'où $$\begin{array}{ccc}y=\mathrm{0,4}\left(x-3\right)+\mathrm{1,2}& \iff & y=\mathrm{0,4}x\end{array}$$

   La tangente T à la courbe courbe représentative de la fonction F au point au point d'abscisse 3 a pour équation $y=\mathrm{0,4}x$.

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PARTIE B

Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.

Calculer le prix de revient moyen minimal d'un article. Quel est alors le montant en euros du coût total de production ?

Les variations de la fonction C se déduisent du signe de la dérivée $C\prime$

x		0		3		5
$C\prime \left(x\right)$			−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+
$C\left(x\right)$

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D'après le tableau de variation de la fonction C, le minimum de la fonction C est atteint pour $x=3$. Or $$C\left(3\right)={\displaystyle \frac{F\left(3\right)}{\mathrm{0,5}\times 3}}={\displaystyle \frac{\mathrm{1,2}}{\mathrm{1,5}}}=\mathrm{0,8}$$

Le prix de revient moyen minimal d'un article est de 0,8€ pour une production de 3 milliers d'articles.

Le coût total de production est donc $$\mathrm{0,8}\times 3000=2400$$

Le prix de revient moyen minimal d'un article est de 0,8 € pour une production de 3 000 articles ce qui correspond à un coût total de production de 2 400 €.

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