contrôles en terminale ES

bac blanc du 12 février 2009

thèmes abordés

  • Probabilités.
  • Ajustement affine.
  • Logarithme d'une fonction.
  • Graphes.

exercice 1 ( 4 points ) commun à tous les candidats

Cet exercice est un Q.C.M (Questionnaire à Choix Multiples). Chaque question admet une seule réponse exacte : a, b ou c. Pour chacune des questions indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est  demandée.
Barème : Une bonne réponse rapporte 0,5 point. Une mauvaise réponse enlève 0,25 point. L'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point. Si le total des points de l'exercice est négatif, la note globale attribuée à l'exercice est ramenée à 0.

questionsréponses
Q1

D'une année sur l'autre, un produit perd 5% de sa valeur. Le produit a perdu au moins 50% de sa valeur initiale au bout de :

  1. 10 années
  2. 13 années
  3. 14 années
Q2

Pour tous réels a et b, strictement positifs, lna2-lnab est égal à :

  1. lnab
  2. lna-b
  3. lnalna
Q3

F est la primitive de la fonction f définie sur 0+ par fx=1x telle que F1=-1. On a :

  1. Fe=1
  2. Fe=0
  3. Fe2=2

Pour toutes les questions suivantes, on donne ci-dessous le tableau de variations d'une fonction f définie et dérivable sur -3+. On appelle (C) sa courbe représentative dans un repère.

x− 3− 213+ ∞

fx

+ ∞

fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

− 2

fonction croissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

1


questionsréponses
Q4

F désigne une primitive de f sur -3+. F est :

  1. strictement décroissante sur -23
  2. strictement décroissante sur -31
  3. strictement croissante sur -23
Q5

La courbe (C) admet pour asymptote la droite d'équation :

  1. y=-3
  2. x=1
  3. x=-3
Q6

g est la fonction définie par gx=lnfx sur l'intervalle 3+. On peut affirmer que  :

  1. 0<gx<1
  2. gx>0
  3. gx<0

exercice 2 ( 5 points ) commun à tous les candidats

D'après une étude de la direction du tourisme concernant l'ensemble des résidents Français :

Est défini comme « voyage », tout départ du domicile, retour à celui-ci avec au moins une nuit passée en dehors. Ces voyages se décomposent en « séjours » de deux sortes :

Le mode d'hébergement d'un séjour peut être marchand (hôtel, camping, gîte etc…) ou non marchand.

On considère que sur l'ensemble des résidents Français qui ont effectué au moins un voyage :

On interroge au hasard, un résident Français  ayant effectué un voyage et on note :

Tous les résultats des différents calculs seront donnés sous forme décimale arrondie au millième.

  1. Calculer la probabilité que la personne interrogée ait effectué un séjour long.

  2. Représenter la situation par un arbre pondéré.

    1. Calculer la probabilité que la personne interrogée ait effectué un séjour long en hébergement marchand.

    2. En déduire la probabilité que la personne interrogée ait effectué un séjour court en hébergement marchand.

  3. Un résident Français effectue un séjour court, quelle est la probabilité qu'il choisisse un hébergement marchand ?

  4. On interroge au hasard, un résident Français ayant choisi un hébergement non marchand au cours de son séjour. Quelle est la probabilité que le séjour de cette personne soit un séjour long ?


exercice 3 ( 5 points ) candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Le tableau suivant donne l'évolution du nombre de licenciés auprès de la Fédération française de handball pour les années 2000 à 2007 :

Source INSEE.
Année20002001200220032004200520062007
Rang de l'année xi01234567
Nombre de milliers de licenciés yi273,8300,5318,9319338364,4350,1367
  1. Sur la copie, représenter le nuage de points associé à la série statistique xiyi le plan étant rapporté à un repère orthogonal (unités graphiques : 2 cm pour une année sur l'axe des abscisses, 5 cm pour cent milliers de licenciés  sur l'axe des ordonnées en commençant à 250 milliers)

  2. Dans cette question, on envisage un ajustement affine pour modéliser l'évolution du nombre de licenciés.

    1. Déterminer une équation de la droite d'ajustement de y en x obtenue par la méthode des moindres carrés, et la tracer sur le graphique précédent (les calculs seront effectués à la calculatrice et les coefficients seront arrondis à 10−2 près).

    2. En supposant que cet ajustement affine reste valable pour les années suivantes, en quelle année, le nombre de licenciés auprès de la Fédération française de handball sera-t-il supérieur à 500 000 ?

  3. En raison des succès remportés par l'équipe de France de handball, on envisage un second modèle pour prévoir l'évolution du nombre de licenciés. On estime qu'à partir de 2007, le nombre de licenciés devrait augmenter de 9% chaque année.
    En quelle année, le nombre de licenciés auprès de la Fédération française de handball sera-t-il supérieur à 500 000 avec ce second modèle ?


exercice 3 ( 5 points ) candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Sur la carte ci-dessous, sont représentés sept pays avec leurs frontières.

Carte : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

Les questions 1, 2 et 3 sont indépendantes. Toutes les réponses devront être justifiées.

  1. On s'intéresse aux frontières séparant ces pays.

    1. Traduire cette carte par un graphe dont les sommets sont les pays et où chaque arête représente une frontière entre deux pays.

    2. On appelle M la matrice associée à ce graphe, les sommets étant pris dans l'ordre alphabétique. Une des trois matrices R, S ou T est la matrice M3 Sans calculs, indiquer quelle est la matrice M3.
      R=4223311242311322322023325222312241211021211322214 ; S=81291274111289121147996116461212111212412711612661044446261176121066 ; T=4122311242312312322123326323212342222122322323224.

    3. Est-il possible, dans tous les cas, de se rendre d'un pays à un autre en franchissant exactement trois frontières ?

    4. Est-il possible de visiter tous les pays en franchissant une et une seule fois chacune des frontières ?

  2. Proposer une coloration de la carte (ou du graphe) avec le minimum de couleurs afin que deux pays qui ont une frontière commune aient des couleurs différentes.

  3. Une personne désire se rendre en train d'une ville située dans le pays A à une autre ville du pays F. Le graphe pondéré ci-dessous donne, en heures, les durées moyennes des liaisons ferroviaires existantes entre les différents pays en tenant compte des temps d'attente entre deux correspondances.

    Graphe pondéré : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    En précisant la méthode utilisée, déterminer le trajet le plus court que cette personne devra utiliser pour son voyage. Combien de temps faut-il prévoir pour effectuer ce trajet ?


exercice 4 ( 6 points ) commun à tous les candidats

PARTIE A

On considère la fonction f définie sur par fx=1-2xx2+1.

  1. Étudier le signe de f suivant les valeurs du réel x.

    1. Montrer que les primitives de la fonction f sont les fonctions G définies sur par Gx=x-lnx2+1+cc est un nombre réel.

    2. En déduire que la primitive F de la fonction f telle que F3=1,2 est la fonction F définie sur par Fx=x+ln10x2+1-1,8.

    3. Calculer limx-Fx.

    4. Étudier le sens de variation de F sur .

  2. La courbe représentative de la fonction F dans un repère du plan est tracée ci-dessous. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe au point d'abscisse 3. Tracer la tangente T dans le même repère.

    Courbe représentative de la fonction F : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

PARTIE B

Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.

Une entreprise fabrique x milliers d'articles par jour (0<x5).
Le prix de revient moyen d'un article, exprimé en euros, dépend du nombre d'articles produits et est modélisé par la fonction C définie sur l'intervalle 05 par Cx=Fx0,5x
Le tableau donnant le signe de la dérivée C de la fonction C est :

x 0 3 5
Cx  0||+ 

Calculer le prix de revient moyen minimal d'un article. Quel est alors le montant en euros du coût total de production ?



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