contrôles en terminale ES

bac blanc du 12 février 2009

Corrigé de l'exercice 3 : Élèves n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Le tableau suivant donne l'évolution du nombre de licenciés auprès de la Fédération française de handball pour les années 2000 à 2007 :

Source INSEE.
Année20002001200220032004200520062007
Rang de l'année xi01234567
Nombre de milliers de licenciés yi273,8300,5318,9319338364,4350,1367
  1. Sur la copie, représenter le nuage de points associé à la série statistique (xi;yi) le plan étant rapporté à un repère orthogonal (unités graphiques : 2 cm pour une année sur l'axe des abscisses, 5 cm pour cent milliers de licenciés  sur l'axe des ordonnées en commençant à 250 milliers)

    Nuage de points, ajustement affine : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  2. Dans cette question, on envisage un ajustement affine pour modéliser l'évolution du nombre de licenciés.

    1. Déterminer une équation de la droite d'ajustement de y en x obtenue par la méthode des moindres carrés, et la tracer sur le graphique précédent (les calculs seront effectués à la calculatrice et les coefficients seront arrondis à 10−2 près).

      Une équation de la droite d'ajustement de y en x par la méthode des moindres carrés obtenue à l'aide de la calculatrice est y=12,57x+284,97


    2. En supposant que cet ajustement affine reste valable pour les années suivantes, en quelle année, le nombre de licenciés auprès de la Fédération française de handball sera-t-il supérieur à 500 000 ?

      Le rang x de l'année est le plus petit entier solution de l'inéquation : 12,57x+284,9750012,57x500-284,97x215,0312,5717,1

      Le nombre de licenciés sera supérieur à 500 000 en 2018.


  3. En raison des succès remportés par l'équipe de France de handball, on envisage un second modèle pour prévoir l'évolution du nombre de licenciés. On estime qu'à partir de 2007, le nombre de licenciés devrait augmenter de 9% chaque année.
    En quelle année, le nombre de licenciés auprès de la Fédération française de handball sera-t-il supérieur à 500 000 avec ce second modèle ?

    Pour tout entier naturel n, on appelle un le nombre de milliers de licenciés obtenu avec ce second modèle pour l'année 2007 + n. Ainsi, u0=367

    Le coefficient multiplicateur associé à une augmentation de 9 % est égal à 1,09.

    Dire qu'à partir de 2007, le nombre de licenciés augmente de 9% chaque année signifie que pour tout entier n, un+1=un×1,09 donc (un) est une suite géométrique de raison 1,09.

    Par conséquent, le nombre de milliers de licenciés obtenu avec ce second modèle pour l'année 2007 + n est un=367×1,09n.

    Le nombre de licenciés sera supérieur à 500 000 pour le plus petit entier n solution de l'inéquation : 367×1,09n5001,09n500367ln(1,09n)ln(500367)n×ln(1,09)ln(500367)nln(500367)ln(1,09)3,6

    Avec ce modèle, le nombre de licenciés sera supérieur à 500 000 en 2011.



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