Contrôle du 29 avril 2009

Corrigé de l'exercice 3

partie a :

La courbe Γ ci-dessous représente, dans un repère orthonormé, une fonction F définie et dérivable sur $ℝ$. On note $F\prime$ la fonction dérivée de F.
La courbe Γ passe par les points $A\left(-2;0\right)$, $B\left(4;6\right)$ et C.
L'axe des abscisses est asymptote à la courbe en $+\infty$
La courbe Γ admet une tangente parallèle à l'axe des abscisses au point C d'abscisse 2 et la tangente au point d'abscisse 4 passe par le point $D\left(8;4\right)$.

1. Déterminer une équation de la droite (BD).

   La droite (BD) a une équation de la forme $y=ax+b$ avec $a={\displaystyle \frac{y_{\mathrm{D}}-y_{\mathrm{B}}}{x_{\mathrm{D}}-x_{\mathrm{B}}}}$.  Soit $a={\displaystyle \frac{4-6}{8-4}}=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$

   Or $B\left(4;6\right)$ est un point de la droite (BD) d'où $y=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\left(x-4\right)+6\iff y=-{\displaystyle \frac{1}{2}}x+8$

   La droite (BD) a pour équation $y=-{\displaystyle \frac{1}{2}}x+8$

   ---

2. À partir du graphique et des renseignements fournis  :

   1. Déterminer la limite de la fonction F en $+\infty$.

      L'axe des abscisses est asymptote à la courbe Γ en $+\infty$ alors $\underset{x+\infty }{\lim }F\left(x\right)=0$

   2. ---

      Dresser le tableau de signes de $F\prime$ sur $ℝ$

      La fonction F est croissante sur l'intervalle $\left]-\infty ;2\right]$, décroissante sur $\left[2;+\infty \right[$ et le maximum de la fonction est atteint pour $x=2$ . D'où le tableau de signes de sa dérivée $F\prime$ sur $ℝ$

      x	$-\infty$		2		$+\infty$
      $F\prime \left(x\right)$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−

      ---

   3. Déterminer $F\prime \left(2\right)$ et $F\prime \left(4\right)$.

      • La courbe admet une tangente parallèle à l'axe des abscisses au point d'abscisse 2 donc $F\prime \left(2\right)=0$

        ---

      • La tangente (BD) à la courbe au point d'abscisse 4 a pour équation $y=-{\displaystyle \frac{1}{2}}x+8$ donc $F\prime \left(4\right)=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$

        ---

   4. Déterminer ${\displaystyle {\int }_{-2}^{4}F\prime \left(x\right)\mathrm{d}x}$.

      $F\prime$ est la dérivée de la fonction F donc F est une primitive de $F\prime$ . Par conséquent, $$\begin{array}{ccc}{\displaystyle {\int }_{-2}^{4}F\prime \left(x\right)\mathrm{d}x}& =& F\left(4\right)-F\left(-2\right)\\ & =& 6-0=6\end{array}$$

      ${\displaystyle {\int }_{-2}^{4}F\prime \left(x\right)\mathrm{d}x}=6$

      ---

partie b :

On considère trois fonctions $f_1$, $f_2$ et $f_3$ définies sur $ℝ$ par : $$\begin{array}{ccccc}{f}_1\left(x\right)={\displaystyle \frac{x^2}{8}}-x+{\displaystyle \frac{3}{2}}& \text{;}& f_2\left(x\right)={\displaystyle \frac{2x}{x^2+8}}-{\displaystyle \frac{x}{4}}+{\displaystyle \frac{1}{6}}& \text{et}& f_3\left(x\right)={\displaystyle \frac{\left(2-x\right){\mathrm{e}}^{1-{\displaystyle \frac{x}{4}}}}{4}}\end{array}$$

1. Étudier le signe de $f_1$ sur $ℝ$ et calculer ${\displaystyle {\int }_{-2}^4{f}_1\left(x\right)\mathrm{d}x}$.

   • $f_1$ est une fonction polynôme du second degré avec $a={\displaystyle \frac{1}{8}}$, $b=-1$ et $c={\displaystyle \frac{3}{2}}$

     $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$ soit $\mathrm{\Delta }=1-4\times {\displaystyle \frac{1}{8}}\times {\displaystyle \frac{3}{2}}={\displaystyle \frac{1}{4}}$ , le polynôme admet donc deux racines : $$\begin{array}{llll}& x_1={\displaystyle \frac{-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}& \text{et}& x_2={\displaystyle \frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}\\ \text{Soit}& x_1={\displaystyle \frac{1-{\displaystyle \frac{1}{2}}}{{\displaystyle \frac{1}{4}}}}=2& \text{et}& x_2={\displaystyle \frac{1+{\displaystyle \frac{1}{2}}}{{\displaystyle \frac{1}{4}}}}=6\end{array}$$

     Un polynôme du second degré est du signe de a sauf pour les valeurs comprises entre les racines, nous pouvons donc déduire le tableau donnant le signe de $f_1$ sur $ℝ$

     x	$-\infty$		2		6		$+\infty$
     $f_1\left(x\right)$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+

     ---

   • Une primitive de la fonction $f_1$ définie sur $ℝ$ par $f_1\left(x\right)={\displaystyle \frac{x^2}{8}}-x+{\displaystyle \frac{3}{2}}$ est la fonction $F_1$ définie sur $ℝ$ par $F_1\left(x\right)={\displaystyle \frac{x^3}{24}}-{\displaystyle \frac{x^2}{2}}+{\displaystyle \frac{3}{2}}x$. $$\begin{array}{lll}{\displaystyle {\int }_{-2}^4{f}_1\left(x\right)\mathrm{d}x}& =& F_1\left(4\right)-F_1\left(-2\right)\\ & =& \left({\displaystyle \frac{8}{3}}-8+6\right)-\left(-{\displaystyle \frac{1}{3}}-2-3\right)\\ & =& {\displaystyle \frac{2}{3}}+{\displaystyle \frac{16}{3}}=6\end{array}$$

     ${\displaystyle {\int }_{-2}^4{f}_1\left(x\right)\mathrm{d}x}=6$

     ---

2. Soit g la fonction définie sur $ℝ$ par $g\left(x\right)=\ln \left(x^2+8\right)$

   1. Calculer $g\prime \left(x\right)$. En déduire une primitive $F_2$ de la fonction  $f_2$.

      Pour tout réel x posons $u\left(x\right)=x^2+8$ d'où $u\prime \left(x\right)=2x$. Nous avons donc $g=\ln \left(u\right)$ d'où $g\prime ={\displaystyle \frac{u\prime }{u}}$.

      Soit pour tout réel x, $g\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{2x}{x^2+8}}$

      Remarquons que pour tout réel x, $f_2\left(x\right)=g\prime \left(x\right)-{\displaystyle \frac{x}{4}}+{\displaystyle \frac{1}{6}}$.

      Par conséquent, une primitive de la fonction $f_2$ définie sur $ℝ$ par $f_2\left(x\right)={\displaystyle \frac{2x}{x^2+8}}-{\displaystyle \frac{x}{4}}+{\displaystyle \frac{1}{6}}$ est la fonction $F_2$ définie sur $ℝ$ par $F_2\left(x\right)=\ln \left(x^2+8\right)-{\displaystyle \frac{x^2}{8}}+{\displaystyle \frac{1}{6}}x$

      ---

   2. Calculer ${\displaystyle {\int }_{-2}^4{f}_2\left(x\right)\mathrm{d}x}$.

      $$\begin{array}{lll}{\displaystyle {\int }_{-2}^4{f}_2\left(x\right)\mathrm{d}x}& =& F_2\left(4\right)-F_2\left(-2\right)\\ & =& \left(\ln 24-2+{\displaystyle \frac{2}{3}}\right)-\left(\ln 12-{\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{3}}\right)\\ & =& \ln 24-{\displaystyle \frac{4}{3}}-\ln 12+{\displaystyle \frac{5}{6}}\\ & =& \ln 2-{\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}$$

      ${\displaystyle {\int }_{-2}^4{f}_2\left(x\right)\mathrm{d}x}=\ln 2-{\displaystyle \frac{1}{2}}$

      ---

3. 1. Étudier le signe de $f_3$ sur $ℝ$

      Pour tout réel x, ${\mathrm{e}}^{1-{\displaystyle \frac{x}{4}}}>0$. Donc $$\begin{array}{ccccc}{\displaystyle \frac{\left(2-x\right){\mathrm{e}}^{1-{\displaystyle \frac{x}{4}}}}{4}}>0& \iff & 2-x>0& \iff & x<2\end{array}$$ D'où le tableau donnant le signe de $f_3$ sur $ℝ$

      x	$-\infty$		2		$+\infty$
      $f_3\left(x\right)$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−

      ---

   2. Une primitive de la fonction $f_3$ est la fonction $F_3$ définie sur $ℝ$ par $F_3\left(x\right)=\left(ax+b\right){\mathrm{e}}^{1-{\displaystyle \frac{x}{4}}}$ où a et b sont deux réels. Montrer que $F_3\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{\left(-ax+4a-b\right){\mathrm{e}}^{1-{\displaystyle \frac{x}{4}}}}{4}}$ puis, déterminer a et b.

      $F_3=uv$ d'où $F_3\prime =u\prime v+uv\prime$ avec $$\begin{array}{llll}& u\left(x\right)=ax+b& \text{d'où}& u\prime \left(x\right)=a\\ \text{et}& v\left(x\right)={\mathrm{e}}^{1-{\displaystyle \frac{x}{4}}}& \text{d'où}& v\prime \left(x\right)=-{\displaystyle \frac{1}{4}}{\mathrm{e}}^{1-{\displaystyle \frac{x}{4}}}\end{array}$$

      Soit pour tout réel x, $$\begin{array}{lll}{F}_3\prime \left(x\right)& =& a{\mathrm{e}}^{1-{\displaystyle \frac{x}{4}}}-{\displaystyle \frac{1}{4}}\left(ax+b\right){\mathrm{e}}^{1-{\displaystyle \frac{x}{4}}}\\ & =& {\displaystyle \frac{4a-\left(ax+b\right)}{4}}\times {\mathrm{e}}^{1-{\displaystyle \frac{x}{4}}}\end{array}$$

      Ainsi, $F_3\prime$ est la fonction définie sur $ℝ$ par $F_3\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{\left(-ax+4a-b\right){\mathrm{e}}^{1-{\displaystyle \frac{x}{4}}}}{4}}$

      ---

      Dire que $F_3$ est une primitive sur $ℝ$ de la fonction $f_3$ signifie que pour tout réel x, $F_3\prime \left(x\right)=f_3\left(x\right)$. Soit pour tout réel x, $${\displaystyle \frac{\left(-ax+4a-b\right){\mathrm{e}}^{1-{\displaystyle \frac{x}{4}}}}{4}}={\displaystyle \frac{\left(2-x\right){\mathrm{e}}^{1-{\displaystyle \frac{x}{4}}}}{4}}$$

      D'où a et b sont solutions du système : $$\begin{array}{lll}\{\begin{array}{rcl}-a& =& -1\\ 4a-b& =& 2\end{array}& \iff & \{\begin{array}{rcl}a& =& 1\\ b& =& 2\end{array}\end{array}$$

      Ainsi, $F_3$ est la fonction définie sur $ℝ$ par $F_3\left(x\right)=\left(x+2\right){\mathrm{e}}^{1-{\displaystyle \frac{x}{4}}}$

      ---

   3. Calculer ${\displaystyle {\int }_{-2}^4{f}_3\left(x\right)\mathrm{d}x}$.

      $$\begin{array}{lll}{\displaystyle {\int }_{-2}^4{f}_3\left(x\right)\mathrm{d}x}& =& F_3\left(4\right)-F_3\left(-2\right)\\ & =& 6{\mathrm{e}}^0-0\\ & =& 6\end{array}$$

      ${\displaystyle {\int }_{-2}^4{f}_3\left(x\right)\mathrm{d}x}=6$

      ---

partie c :

La fonction F de la partie A est la primitive qui s'annule en − 2 d'une des trois fonctions $f_1$, $f_2$ ou $f_3$ définies dans la partie B. Calculer $F\left(2\right)$
Toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l'évaluation.

D'après les élèments établis dans la partie A :

• Sur l'intervalle $\left[2;+\infty \right[$, $F\prime \left(x\right)⩽0$ donc F n'est pas une primitive de la fonction $f_1$.

• ${\displaystyle {\int }_{-2}^{4}F\prime \left(x\right)\mathrm{d}x}=6$ donc F n'est pas une primitive de la fonction $f_2$.

• F est donc une primitive de la fonction $f_3$ d'où $F\left(x\right)=\left(x+2\right){\mathrm{e}}^{1-{\displaystyle \frac{x}{4}}}+c$. Or $$\begin{array}{ccc}F\left(-2\right)=0& \iff & c=0\end{array}$$

Ainsi, F est la fonction définie sur $ℝ$ par $F\left(x\right)=\left(x+2\right){\mathrm{e}}^{1-{\displaystyle \frac{x}{4}}}$ et $F\left(2\right)=4{\mathrm{e}}^{{\displaystyle \frac{1}{2}}}=4\sqrt{\mathrm{e}}$.

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