Contrôle du 30 mai 2009

Corrigé de l'exercice 2

Les résultats seront donnés sous forme décimale, éventuellement arrondis au millième.

1. Montrer que la probabilité que le spectateur choisi a vu un film « Art et Essai » sorti dans l'année est égale à 0 ,172.

   • les films recommandés « Art et Essai » totalisent 21,3% des entrées alors, $p\left(A\right)=\mathrm{0,213}$
   • 80,7% des entrées des films « Art et Essai » sont des films sortis dans l'année alors, $p_A\left(R\right)=\mathrm{0,807}$

   Nous avons $$\begin{array}{ccc}p\left(A\cap R\right)=p_A\left(R\right)\times p\left(A\right)& \text{Soit}& p\left(A\cap R\right)=\mathrm{0,807}\times \mathrm{0,213}\approx \mathrm{0,172}\end{array}$$

   Ainsi, la probabilité que le spectateur choisi a vu un film « Art et Essai » récent est égale à 0 ,172.

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2. Le spectateur choisi n'a pas vu un film « Art et Essai », quelle est la probabilité que ce soit un film récent sorti dans l'année ?

   Il s'agit de calculer la probabilité conditionnelle de l'évènement R sachant que l'évènement $\overline{A}$ est réalisé : $$\begin{array}{lll}{p}_{\overline{A}}\left(R\right)& =& {\displaystyle \frac{p\left(\overline{A}\cap R\right)}{p\left(\overline{A}\right)}}\end{array}$$

   • $p\left(\overline{A}\right)=1-p\left(A\right)$. Soit $p\left(\overline{A}\right)=\mathrm{0,787}$

   • Les évènements A et R étant relatifs à la même épreuve alors, d'après la formule des probabilités totales : Soit A et B deux évènements quelconques, relatifs à une même épreuve alors : $$p\left(\mathrm{B}\right)=p\left(\mathrm{B}\cap \mathrm{A}\right)+p\left(\mathrm{B}\cap \overline{\mathrm{A}}\right)$$$$p\left(R\right)=p\left(A\cap R\right)+p\left(\overline{A}\cap R\right)$$

     D'où $$\begin{array}{lll}p\left(\overline{A}\cap R\right)& =& p\left(R\right)-p\left(A\cap R\right)\\ & =& \mathrm{0,925}-\mathrm{0,172}\\ & =& \mathrm{0,753}\end{array}$$

   Par conséquent, $$\begin{array}{lll}{p}_{\overline{A}}\left(R\right)& =& {\displaystyle \frac{p\left(\overline{A}\cap R\right)}{p\left(\overline{A}\right)}}\\ & =& {\displaystyle \frac{\mathrm{0,753}}{\mathrm{0,787}}}\approx \mathrm{0,957}\end{array}$$

   La probabilité que le spectateur qui n'a pas vu un film « Art et Essai » a vu un film récent est égale à 0 ,957.

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3. Le spectateur choisi a vu un film récent sorti dans l'année, quelle est la probabilité que ce soit un film recommandé « Art et Essai »?

   Il s'agit de calculer la probabilité conditionnelle de l'évènement A sachant que l'évènement R est réalisé : $$\begin{array}{lll}{p}_R\left(A\right)& =& {\displaystyle \frac{p\left(A\cap R\right)}{p\left(R\right)}}\\ & =& {\displaystyle \frac{\mathrm{0,172}}{\mathrm{0,925}}}\approx \mathrm{0,186}\end{array}$$

   La probabilité que le spectateur a vu un film « Art et Essai » sachant que c'est un film récent est égale à 0 ,186.

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4. On interroge au hasard et de façon indépendante n spectateurs à la sortie de différentes salles de cinéma. Calculer le nombre minimal de spectateurs qu'il faut interroger pour que la probabilité qu'au moins un d'entre n'a pas vu un film récent sorti dans l'année soit supérieure à 0,5.

   Interroger au hasard et de façon indépendante n spectateurs est la répétition de n épreuves de Bernoulli. La loi de probabilité associée au nombre de spectateurs qui ont vu un film récent est une loi binomiale de paramètres n et 0,925.

   L'évènement « au moins un spectateur n'a pas vu un film récent » est l'évènement contraire de l'évènement E « n spectateurs ont vu un film récent ».

   Or $p\left(E\right)={\mathrm{0,925}}^n$ d'où $p\left(\overline{E}\right)=1-{\mathrm{0,925}}^n$

   On cherche donc le plus petit entier n tel que : $$\begin{array}{llll}1-{\mathrm{0,925}}^n⩾\mathrm{0,5}& \iff & -{\mathrm{0,925}}^n⩾-\mathrm{0,5}& \\ & \iff & {\mathrm{0,925}}^n⩽\mathrm{0,5}& \\ & \iff & \ln \left({\mathrm{0,925}}^n\right)⩽\ln \mathrm{0,5}& \text{La fonction logarithme est croissante}\\ & \iff & n\ln \mathrm{0,925}⩽\ln \mathrm{0,5}& \text{Pour tout réel }a\text{ strictement positif et pour tout entier }n\text{, }\ln a^n=n\ln a\\ & \iff & n⩾{\displaystyle \frac{\ln \mathrm{0,5}}{\ln \mathrm{0,925}}}& \ln \mathrm{0,925}\text{ est négatif}\end{array}$$

   Or ${\displaystyle \frac{\ln \mathrm{0,5}}{\ln \mathrm{0,925}}}\approx \mathrm{8,9}$ par conséquent, le plus petit entier n pour lequel $1-{\mathrm{0,925}}^n⩾\mathrm{0,5}$ est 9

   Il faut interroger au moins neuf spectateurs pour que la probabilité qu'au moins un d'entre n'a pas vu un film récent soit supérieure à 0,5.

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