contrôles en terminale ES

Contrôle du 30 mai 2009

Corrigé de l'exercice 3

Un industriel produit une boisson conditionnée sous deux emballages distincts A et B.
Une étude a permis d'établir que d'un mois sur l'autre, 84% des consommateurs restent fidèles au conditionnement A contre 76% pour le conditionnement B.
Au moment de l'étude, les consommations des deux conditionnements sont égales.

Pour tout entier naturel n , on note $a_{n}$ la probabilité qu'un consommateur choisisse le conditionnement A le n-ième mois après l'étude et $P_{n} = (\begin{matrix} a_{n} & b_{n} \end{matrix})$ la matrice ligne décrivant l'état probabiliste le n-ième mois après l'étude. Ainsi $P_{0} = (\begin{matrix} a_{0} & b_{0} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0,5 & 0,5 \end{matrix})$

Représenter les données précédentes par un graphe probabiliste de sommets A et B.
D'un mois sur l'autre, 84% des consommateurs restent fidèles au conditionnement A contre 76% pour le conditionnement B d'où $\begin{matrix} p_{A_{n}} (A_{n + 1}) = 0,84 & et & p_{B_{n}} (B_{n + 1}) = 0,76 \end{matrix}$
Par conséquent, le graphe probabiliste qui représente la situation est :
1. Écrire la matrice de transition M de ce graphe en respectant l'ordre alphabétique des sommets
  La matrice de transition de ce graphe en considérant les sommets dans l'ordre alphabétique est $M = (\begin{array}{l} 0,84 & 0,16 \\ 0,24 & 0,76 \end{array})$ .
2. Montrer que la matrice ligne $P_{2}$ est égale à $(\begin{matrix} 0,564 & 0,436 \end{matrix})$
  L'état probabiliste $P_{2} = P_{0} \times M^{2}$ . Soit : $\begin{array}{l} P_{2} & = & (\begin{matrix} 0,5 & 0,5 \end{matrix}) \times (\begin{array}{l} 0,744 & 0,256 \\ 0,384 & 0,616 \end{array}) \\ = & (\begin{matrix} 0,564 & 0,436 \end{matrix}) \end{array}$
  Ainsi, $P_{2} = (\begin{matrix} 0,564 & 0,436 \end{matrix})$ .
Soit $P = (\begin{matrix} a & b \end{matrix})$ la matrice correspondant à l'état stable, c'est à dire telle que $P = P \times M$ . Déterminer les réels a et b. Interpréter ce résultat.
La matrice de transition M ne comportant pas de 0 , l'état $P_{n}$ converge vers un état stable P indépendant de l'état initial.
P est solution de l'équation : ( voir le théorème )Considérons un graphe probabiliste d'ordre 2 dont la matrice de transition M ne comporte pas de 0. Alors :
a. l'état $P_{n}$ à l'étape n converge vers un état P indépendant de l'état initial $P_{0}$ .
b. de plus, P est l'unique solution de l'équation $P = P \times M$ où $P = (\begin{matrix} x & y \end{matrix})$ avec $x + y = 1$ . $P = P \times M$
Soit $\begin{matrix} (\begin{matrix} a & b \end{matrix}) = (\begin{matrix} a & b \end{matrix}) \times (\begin{matrix} 0,84 & 0,16 \\ 0,24 & 0,76 \end{matrix}) \end{matrix}$ avec $a + b = 1$ . D'où a et b sont solutions du système $\begin{matrix} {\begin{array}{rcl} a & = & 0,84 a + 0,24 b \\ b & = & 0,16 a + 0,76 b \\ a + b & = & 1 \end{array} & \Leftrightarrow & {\begin{array}{rcl} 0,16 a - 0,24 b & = & 0 \\ - 0,16 a + 0,24 b & = & 0 \\ a + b & = & 1 \end{array} \end{matrix}$
Ainsi, a et b sont solutions du système $\begin{matrix} {\begin{array}{rcl} 0,16 a - 0,24 b & = & 0 \\ a + b & = & 1 \end{array} & \Leftrightarrow & {\begin{array}{rcl} 0,4 a & = & 0,24 \\ b & = & 1 - a \end{array} & \Leftrightarrow & {\begin{array}{rcl} a & = & 0,6 \\ b & = & 0,4 \end{array} \end{matrix}$
L'état stable du système est $P = (\begin{matrix} 0,6 & 0,4 \end{matrix})$ . À terme, 60% des consommateurs choisiront le conditionnement A et 40% des consommateurs choisiront le conditionnement B.
À l'aide de la relation $P_{n + 1} = P_{n} \times M$ , démontrer que, pour tout entier naturel n, $a_{n + 1} = 0,6 a_{n} + 0,24$ .
$\begin{matrix} P_{n + 1} = P_{n} \times M & \Leftrightarrow & (\begin{matrix} a_{n + 1} & b_{n + 1} \end{matrix}) = (\begin{matrix} a_{n} & b_{n} \end{matrix}) \times M \end{matrix}$ avec $a_{n} + b_{n} = 1$ . Soit $(\begin{matrix} a_{n + 1} & b_{n + 1} \end{matrix}) = (\begin{matrix} a_{n} & 1 - a_{n} \end{matrix}) \times (\begin{array}{l} 0,84 & 0,16 \\ 0,24 & 0,76 \end{array})$
D'où $\begin{matrix} a_{n + 1} = 0,84 a_{n} + 0,24 \times (1 - a_{n}) & \Leftrightarrow & a_{n + 1} = 0,6 a_{n} + 0,24 \end{matrix}$
Ainsi, pour tout entier naturel n, $a_{n + 1} = 0,6 a_{n} + 0,24$ .
On considère la suite $(u_{n})$ définie pour tout entier naturel n par $u_{n} = a_{n} - 0,6$
1. Démontrer que la suite $(u_{n})$ est une suite géométrique de raison 0,6.
  Pour tout entier naturel n, $\begin{array}{l} u_{n + 1} & = & a_{n + 1} - 0,6 \\ = & (0,6 a_{n} + 0,24) - 0,6 \\ = & 0,6 a_{n} - 0,36 \\ = & 0,6 (a_{n} - 0,6) \\ = & 0,6 u_{n} \end{array}$
  Ainsi, pour tout entier naturel n, $u_{n + 1} = 0,6 u_{n}$ .
  La suite $(u_{n})$ est une suite géométrique de raison 0,4.
2. Exprimer $u_{n}$ en fonction de n et en déduire que, pour tout entier naturel n, $a_{n} = - 0,1 \times {0,6}^{n} + 0,6$ .
  Le terme initial de la suite $(u_{n})$ est : $u_{0} = a_{0} - 0,6 = 0,5 - 0,6 = - 0,1$
  La suite $(u_{n})$ est une suite géométrique de raison 0,6 et de premier terme $u_{0} = - 0,1$ . Donc pour tout entier naturel n, $u_{n} = - 0,1 \times {0,6}^{n}$ .
  Soit $\begin{matrix} a_{n} - 0,6 = - 0,1 \times {0,6}^{n} & \Leftrightarrow & a_{n} = - 0,1 \times {0,6}^{n} + 0,6 \end{matrix}$
  Ainsi, pour tout entier naturel n, $a_{n} = - 0,1 \times {0,6}^{n} + 0,6$ .
3. À partir de combien de mois après l'étude, la probabilité qu'un consommateur choisisse le conditionnement A est-elle supérieure à 0,595 ?
  n est le plus petit entier tel que $a_{n} > 0,595$ . Soit $\begin{array}{l} - 0,1 \times {0,6}^{n} + 0,6 > 0,595 & \Leftrightarrow & - 0,1 \times {0,6}^{n} > - 0,005 \\ \Leftrightarrow & {0,6}^{n} < 0,05 \\ \Leftrightarrow & \ln ({0,6}^{n}) < \ln 0,05 & La fonction logarithme est croissante \\ \Leftrightarrow & n \ln 0,6 < \ln 0,05 & Pour tout réel a strictement positif et pour tout entier n, \ln a^{n} = n \ln a \\ \Leftrightarrow & n > \frac{\ln 0,05}{\ln 0,6} \approx 5,9 & \ln 0,6 est négatif \end{array}$
  Ainsi, six mois après l'étude, la probabilité qu'un consommateur choisisse le conditionnement A sera supérieure à 0,595.

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