contrôles en terminale ES

Contrôle du 30 mai 2009

thèmes abordés

  • Ajustement exponentiel.
  • Graphe probabiliste et suites.
  • Probabilités.
  • Fonction exponentielle, calcul d'aire.

exercice 1

Pour chaque question, une et une seule des trois propositions est exacte.
Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse exacte sans justifier le choix effectué.
Barème : Une réponse exacte rapporte 1 point ; une réponse fausse enlève 0,5 point ; l'absence de réponse donne 0 point. Si le total est négatif la note est ramenée à 0.

Soit f une fonction définie et dérivable sur . On a tracé ci-dessous, sa courbe représentative dans un repère orthogonal.

Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  1. On note f la fonction dérivée de la fonction f sur :

    1. f-1=0 ;

    2. f-2<f1 ;

    3. fx0 sur l'intervalle -21.

  2. Soit F une primitive sur de la fonction f :

    1. F est décroissante sur l'intervalle 1+ ;

    2. F présente un maximum en x=1 ;

    3. F présente un minimum en x=-1 .

    1. -1-3fxdx<0

    2. 02fxdx<8

    3. -33fxdx>-13fxdx

  3. g est la fonction dérivée de la fonction g définie sur -1+ par gx=lnfx :

    1. gx0 sur -1+ ;

    2. g0g1 ;

    3. g2=-23 .

  4. Soit h la fonction définie sur par hx=efx. On note Γ sa courbe représentative :

    1. l'axe des abscisses est asymptote à la courbe Γ en − ∞ ;

    2. la droite d'équation y=1 est asymptote à la courbe Γ en + ∞ ;

    3. limx+hx=+


exercice 2

D'après une étude réalisée par le CNC (centre national de la cinématographie) :

On choisit au hasard un spectateur à la sortie d'un cinéma et on note :
A : l'évènement « le spectateur a vu un film Art et Essai » ;
R : l'évènement « le spectateur a vu un film récent sorti dans l'année ».

Les résultats seront donnés sous forme décimale, éventuellement arrondis au millième.

  1. Montrer que la probabilité que le spectateur choisi a vu un film « Art et Essai » sorti dans l'année est égale à 0 ,172.

  2. Le spectateur choisi n'a pas vu un film « Art et Essai », quelle est la probabilité que ce soit un film récent sorti dans l'année ?

  3. Le spectateur choisi a vu un film récent sorti dans l'année, quelle est la probabilité que ce soit un film recommandé « Art et Essai »?

  4. On interroge au hasard et de façon indépendante n spectateurs à la sortie de différentes salles de cinéma. Calculer le nombre minimal de spectateurs qu'il faut interroger pour que la probabilité qu'au moins un d'entre n'a pas vu un film récent sorti dans l'année soit supérieure à 0,5.


exercice 3 : élèves n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Le tableau ci-dessous donne l'évolution du nombre de milliers d'emplois salariés dans le secteur du textile en France, entre 2000 et 2006.

Année2000200120022003200420052006
Rang de l'année xi0123456
Nombre de milliers d'emplois salariés yi11811310698898175
  1. Calculer le pourcentage d'évolution annuel moyen du nombre d'emplois salariés entre les années 2003 et 2006. Ce taux sera exprimé en pourcentage et arrondi au centième.

  2. On pose z=lny.

    1. Recopier et compléter le tableau suivant en arrondissant les valeurs de zi au millième.

      xi0123456
      zi4,771      
    2. Déterminer une équation de la droite d'ajustement de z en x obtenue par la méthode des moindres carrés (aucune justification n'est exigée, les calculs seront effectués à la calculatrice et les coefficients seront arrondis au millième)

    3. En déduire une relation entre y et x de la forme y=AeBx, A étant arrondi l'unité et B au millième.

  3. En supposant que cet ajustement reste valable pour les années suivantes, donner une estimation du nombre de milliers d'emplois salariés dans le secteur textile en 2008.

  4. En réalité, le nombre d'emplois salariés dans le secteur du textile a diminué en moyenne de 6,47% par an entre 2006 et 2008. Calculer le nombre de milliers d'emplois salariés dans le secteur textile en 2008.


exercice 3 : élèves ayant suivi l'enseignement de spécialité

Un industriel produit une boisson conditionnée sous deux emballages distincts A et B.
Une étude a permis d'établir que d'un mois sur l'autre, 84% des consommateurs restent fidèles au conditionnement A contre 76% pour le conditionnement B.
Au moment de l'étude, les consommations des deux conditionnements sont égales.

Pour tout entier naturel n , on note an la probabilité qu'un consommateur choisisse le conditionnement A le n-ième mois après l'étude et Pn=anbn la matrice ligne décrivant l'état probabiliste le n-ième mois après l'étude. Ainsi P0=a0b0=0,50,5

  1. Représenter les données précédentes par un graphe probabiliste de sommets A et B.

    1. Écrire la matrice de transition M de ce graphe en respectant l'ordre alphabétique des sommets

    2. Montrer que la matrice ligne P2 est égale à 0,5640,436

  2. Soit P=ab la matrice correspondant à l'état stable, c'est à dire telle que P=P×M . Déterminer les réels a et b. Interpréter ce résultat.

  3. À l'aide de la relation Pn+1=Pn×M, démontrer que, pour tout entier naturel n, an+1=0,6an+0,24.

  4. On considère la suite un définie pour tout entier naturel n par un=an-0,6

    1. Démontrer que la suite un est une suite géométrique de raison 0,6.

    2. Exprimer un en fonction de n et en déduire que, pour tout entier naturel n : an=-0,1×0,6n+0,6

    3. À partir de combien de mois après l'étude, la probabilité qu'un consommateur choisisse le conditionnement A est-elle supérieure à 0,595 ?


exercice 4

On désigne par f la fonction définie sur par fx=xe1-0,5x. On note Cf sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormal.

  1. Étudier le signe de f.

    1. Calculer la limite de la fonction f en − ∞.

    2. Vérifier que, pour tout nombre réel x, fx=2-2XeX avec X=1-0,5x . En déduire la limite de la fonction f en + ∞. Interpréter graphiquement ce résultat.

  2. On note f la fonction dérivée de la fonction f.

    1. Démontrer que pour tout nombre réel x, fx=1-0,5xe1-0,5x

    2. Dresser le tableau complet des variations de la fonction f .

  3. On admet qu'il existe deux réels a et b tels que, pour tout réel x, la fonction F définie sur par Fx=ax+be1-0,5x est une primitive de la fonction f sur .

    1. Déterminer les valeurs exactes des réels a et b.

    2. Déterminer la valeur, en unités d'aire, de l'aire de la partie du plan délimitée par la courbe Cf, l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation x=2.



Télécharger le sujet :

  LaTeX      |      Pdf      |      Word  


Rechercher des exercices regoupés par thème


[ Accueil ]


Les documents présentés ne sont pas libres de droits. Vous pouvez les télécharger et diffuser (en indiquant la provenance) à condition de ne pas en faire un usage commercial.