Contrôle du 30 mai 2009

Corrigé de l'exercice 3

1. Calculer le pourcentage d'évolution annuel moyen du nombre d'emplois salariés entre les années 2003 et 2006. Ce taux sera exprimé en pourcentage et arrondi au centième.

   Le coefficient multiplicateur associé au pourcentage d'évolution du nombre d'emploi entre 2003 et 2006 est égal à : ${\displaystyle \frac{75}{98}}$

   Soit $1-{\displaystyle \frac{t}{100}}$ le coefficient multiplicateur associé au pourcentage de baisse annuel moyen du nombre d'emplois salariés entre les années 2003 et 2006 alors t est solution de l'équation $$\begin{array}{lll}{\left(1-{\displaystyle \frac{t}{100}}\right)}^3={\displaystyle \frac{75}{98}}& \iff & 1-{\displaystyle \frac{t}{100}}={\left({\displaystyle \frac{75}{98}}\right)}^{{\displaystyle \frac{1}{3}}}\\ & \iff & {\displaystyle \frac{t}{100}}\approx \mathrm{0,0853}\end{array}$$

   Entre 2003 et 2006, le nombre d'emplois salariés dans le secteur du textile a diminué en moyenne de 8,53% par an.

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2. On pose $z=\ln \left(y\right)$.

   1. Recopier et compléter le tableau suivant en arrondissant les valeurs de $z_i$ au millième.

      $x_i$	0	1	2	3	4	5	6
      $z_i$	4,771	4,727	4,663	4,585	4,489	4,394	4,317

   2. Déterminer une équation de la droite d'ajustement de z en x obtenue par la méthode des moindres carrés (aucune justification n'est exigée, les calculs seront effectués à la calculatrice et les coefficients seront arrondis au millième)

      Une équation de la droite d'ajustement de z en x par la méthode des moindres carrés obtenue à l'aide de la calculatrice est $z=\mathrm{4,8}-\mathrm{0,079}x$

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   3. En déduire une relation entre y et x de la forme $y=A{\mathrm{e}}^{Bx}$, A étant arrondi l'unité et B au millième.

      Pour tout réel $y>0$, $z=\ln y\iff y={\mathrm{e}}^z$ d'où :$$\begin{array}{lll}y={\mathrm{e}}^{\mathrm{4,8}-\mathrm{0,079}x}& \iff & y={\mathrm{e}}^{\mathrm{4,8}}\times {\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,079}x}\\ & \text{Soit}& y=122\times {\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,079}x}\end{array}$$

      $y=122{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,079}x}$

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3. En supposant que cet ajustement reste valable pour les années suivantes, donner une estimation du nombre de milliers d'emplois salariés dans le secteur textile en 2008.

   Le rang de l'année 2008 est 8 d'où une estimation du nombre de milliers d'emplois en 2008 : $$y=122\times {\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,079}\times 8}\approx \mathrm{64,8}$$

   Avec cet ajustement, on peut prévoir 65 milliers d'emplois salariés dans le textile en 2008.

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4. En réalité, le nombre d'emplois salariés dans le secteur du textile a diminué en moyenne de 6,47% par an entre 2006 et 2008. Calculer le nombre de milliers d'emplois salariés dans le secteur textile en 2008.

   Le coefficient multiplicateur associé à une baisse de 6,47% est égal à 0,9353. Le nombre de milliers d'emplois salariés en 2008 est donc : $$75\times {\mathrm{0,9353}}^2\approx \mathrm{65,6}$$

   En 2008, il y avait 65,6 milliers d'emplois salariés dans l'industrie textile.

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