bac blanc du 15 mai 2017

Corrigé de l'exercice 1

Pour chacune des questions posées, une seule des quatre réponses est exacte. Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point.
Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.

1. On considère une fonction f définie et dérivable sur l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$. On note $C_f$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère.
   Le tableau de variation de la dérivée $f\prime$ de la fonction f est :

   x	0	e	${\mathrm{e}}^2$		$+\infty$
   $f\prime \left(x\right)$	$-1$		$\ln 2$		1

   ---

   On peut affirmer que la courbe représentative de la fonction f admet :

   La dérivée $f\prime$ de la fonction f est croissante sur l'intervalle $\left[0;{\mathrm{e}}^2\right]$ et décroissante sur l'intervalle $\left[{\mathrm{e}}^2;+\infty \right[$. Par conséquent la fonction f change de convexité au point d'abscisse ${\mathrm{e}}^2$ donc la courbe $C_f$ admet un point d'inflexion d'abscisse ${\mathrm{e}}^2$

   une tangente horizontale au point d'abscisse 0

   une tangente horizontale au point d'abscisse ${\mathrm{e}}^2$

   un point d'inflexion d'abscisse e

   un point d'inflexion d'abscisse ${\mathrm{e}}^2$

2. La fonction dérivée de la fonction f définie sur $\left]0;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)=x^2\left(\ln x+3\right)$ est la fonction $f\prime$ définie sur $\left]0;+\infty \right[$ par :

   La fonction f définie sur $\left]0;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)=x^2\left(\ln x+3\right)$ est dérivable comme produit de deux fonctions. $f=u\times v$ d'où $f\prime =u\prime v+uv\prime$ avec pour tout réel x strictement positif : $$\begin{array}{ccc}u\left(x\right)=x^2\hfill & \text{;}& u\prime \left(x\right)=2x\hfill \\ v\left(x\right)=\ln x+3\hfill & \text{;}& v\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{x}}\hfill \end{array}$$

   D'où pour tout réel x de l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$, on a : $$\begin{array}{ccc}f\prime \left(x\right)& =& 2x\left(\ln x+3\right)+x^2\times {\displaystyle \frac{1}{x}}\hfill \\ & =& 2x\left(\ln x+3\right)+x\hfill \\ & =& x\left(2\ln x+7\right)\hfill \end{array}$$

   $f\prime \left(x\right)=2x\ln x+7$

   $f\prime \left(x\right)=2x\ln x+5x$

   $f\prime \left(x\right)=x\left(2\ln x+7\right)$

   $f\prime \left(x\right)=2x\times {\displaystyle \frac{1}{x}}$

3. L'ensemble des solutions de l'inéquation $\ln x-1⩽0$ est :

   Pour tout réel x strictement positif : $$\begin{array}{ccc}\ln x-1⩽0& \iff & \ln x⩽1\hfill \\ & \iff & x⩽\mathrm{e}\hfill \end{array}$$

   $\left]-\infty ;1\right]$

   $\left]-\infty ;\mathrm{e}\right]$

   $\left]0;\mathrm{e}\right]$

   $\left]0;+\infty \right[$

4. On considère une fonction f définie et dérivable sur l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$.
   La fonction F est une de ses primitives sur cet intervalle et la courbe représentative de la fonction F est tracée dans le repère ci-dessous :

   L'intégrale ${\displaystyle {\int }_2^{3}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$ est égale à :

   F est une primitive de la fonction f sur l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$ donc $${\displaystyle {\int }_2^{3}f\left(x\right)\mathrm{d}x}=F\left(3\right)-F\left(2\right)$$ Or $F\left(2\right)=0$ et $F\left(3\right)>3$ donc ${\displaystyle {\int }_2^{3}f\left(x\right)\mathrm{d}x}>3$. La proposition d est la seule qui puisse convenir.

   ${\displaystyle \frac{\ln 3}{3}}$

   $\ln 3$

   $-\ln 3$

   $3\ln 3$

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