contrôles en terminale ES

bac blanc du 15 mai 2017

Corrigé de l'exercice 3 : Élèves ayant suivi l'enseignement de spécialité

partie a

Une étude réalisée sur la réservation par internet des places d'une salle de spectacle a permis de constater qu'une place disponible le jour d'ouverture de la réservation, voit son état évoluer chaque jour jusqu'à la fermeture de la réservation de la manière suivante :

si une place est réservée le jour n, elle le sera encore le jour suivant avec une probabilité égale à 0,9 ;
si une place est disponible le jour n, elle sera réservée le jour suivant avec une probabilité égale à 0,4.

Pour n entier naturel, on note $d_{n}$ la probabilité qu'une place soit disponible le jour n et $r_{n}$ la probabilité qu'une place soit réservée le jour n.
On note :

D l'état « la place est disponible » ;
R l'état « la place est réservée ».

On note $P_{n} = (\begin{matrix} d_{n} & r_{n} \end{matrix})$ l'état probabiliste le jour n.
Le jour de l'ouverture des réservations par internet, toutes les places sont libres, l'état probabiliste initial est donc $P_{0} = (\begin{matrix} 1 & 0 \end{matrix})$ .

Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets D et R.
On a constaté que :
- si une place est réservée le jour n, elle le sera encore le jour suivant avec une probabilité égale à 0,9 d'où $p_{R} (R) = 0,9$ et $p_{R} (D) = 1 - 0,9 = 0,1$ .
- si une place est disponible le jour n, elle sera réservée le jour suivant avec une probabilité égale à 0,4 d'où $p_{D} (R) = 0,4$ et $p_{D} (D) = 1 - 0,4 = 0,6$ .
D'où le graphe probabiliste qui modélise la situation :
1. Donner la matrice de transition M de ce graphe en respectant l'ordre alphabétique des sommets.
  La matrice de transition associée au graphe telle que pour tout entier naturel n, $P_{n + 1} = P_{n} \times M$ est $M = (\begin{matrix} 0,6 & 0,4 \\ 0,1 & 0,9 \end{matrix})$ .
2. Calculer la probabilité qu'une place soit réservée quatre jours après l'ouverture des réservations sur internet.
  $\begin{matrix} P_{4} = P_{0} \times M^{4} & soit & P_{4} = (\begin{matrix} 1 & 0 \end{matrix}) \times {(\begin{matrix} 0,6 & 0,4 \\ 0,1 & 0,9 \end{matrix})}^{4} = (\begin{matrix} 0,25 & 0,75 \end{matrix}) \end{matrix}$
  La probabilité qu'une place soit réservée quatre jours après l'ouverture des réservations sur internet est égale à 0,75.
On note $P = (\begin{matrix} d & r \end{matrix})$ l'état stable associé à ce graphe. Déterminer l'état stable et interpréter ce résultat.
Les termes de la matrice de tansition M d'ordre 2 ne sont pas nuls, alors l'état $P_{n}$ converge vers un état stable $P = (\begin{matrix} d & r \end{matrix})$ avec $d + r = 1$ et vérifiant : $\begin{matrix} (\begin{matrix} d & r \end{matrix}) = (\begin{matrix} d & r \end{matrix}) \times (\begin{matrix} 0,6 & 0,4 \\ 0,1 & 0,9 \end{matrix}) & \Leftrightarrow & (\begin{matrix} d & r \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0,6 d + 0,1 r & 0,4 d + 0,9 r \end{matrix}) \end{matrix}$
D'où a et b sont solutions du système : $\begin{matrix} {\begin{cases} d = 0,6 d + 0,1 r \\ r = 0,4 d + 0,9 r \\ d + r = 1 \end{cases} & \Leftrightarrow & {\begin{cases} 0,4 d - 0,1 r = 0 \\ - 0,4 d + 0,1 r = 0 \\ d + r = 1 \end{cases} \end{matrix}$
Soit a et b solutions du système : $\begin{matrix} {\begin{cases} 0,4 d - 0,1 r = 0 \\ d + r = 1 \end{cases} & \Leftrightarrow & {\begin{cases} d + r = 1 \\ 0,5 d = 0,1 \end{cases} & \Leftrightarrow & {\begin{cases} d = 0,2 \\ r = 0,8 \end{cases} \end{matrix}$
L'état stable du graphe probabiliste est $P = (\begin{matrix} 0,2 & 0,8 \end{matrix})$ . À partir d'un certain nombre de jours, chaque jour, 20 % des places seront disponibles.
Montrer que pour tout entier naturel n on a : $d_{n + 1} = 0,5 d_{n} + 0,1$ .
Pour tout entier naturel n, $\begin{matrix} (\begin{matrix} d_{n + 1} & r_{n + 1} \end{matrix}) = (\begin{matrix} d_{n} & r_{n} \end{matrix}) \times (\begin{array}{ll} 0,6 & 0,4 \\ 0,1 & 0,9 \end{array}) & \Leftrightarrow & (\begin{matrix} d_{n + 1} & r_{n + 1} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0,6 d_{n} + 0,1 r_{n} & 0,4 d_{n} + 0,9 r_{n} \end{matrix}) \end{matrix}$
Soit pour tout entier naturel n, $d_{n + 1} = 0,6 d_{n} + 0,1 r_{n}$ avec pour tout entier naturel n, $d_{n} + r_{n} = 1$ . Donc pour tout entier naturel n, $d_{n + 1} = 0,6 d_{n} + 0,1 \times (1 - d_{n}) = 0,5 d_{n} + 0,1$
Ainsi, pour tout entier naturel n, on a : $d_{n + 1} = 0,5 d_{n} + 0,1$ .
Pour tout nombre entier naturel n, on définit la suite $(u_{n})$ par $u_{n} = d_{n} - 0,2$ .
1. Montrer que la suite $(u_{n})$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
  Pour tout entier n, $\begin{array}{rcl} u_{n + 1} & = & d_{n + 1} - 0,2 \\ = & 0,5 d_{n} + 0,1 - 0,2 \\ = & 0,5 d_{n} - 0,1 \\ = & 0,5 \times (d_{n} - 0,2) \\ = & 0,5 u_{n} \end{array}$
  Ainsi, pour tout entier naturel n, $u_{n + 1} = 0,5 u_{n}$ donc $(u_{n})$ est une suite géométrique de raison 0,5 dont le premier terme $u_{0} = 1 - 0,2 = 0,8$ .
2. Montrer que, pour tout nombre entier naturel n, on a : $d_{n} = 0,8 \times {0,5}^{n} + 0,2$ .
  $(u_{n})$ est une suite géométrique de raison 0,5 et de premier terme $u_{0} = 0,8$ donc pour tout entier naturel n, $u_{n} = 0,8 \times {0,5}^{n}$ .
  En outre, pour tout entier naturel n, $u_{n} = d_{n} - 0,2 \Leftrightarrow d_{n} = u_{n} + 0,2$ . On en déduit que :
  pour tout entier naturel n, on a $d_{n} = 0,8 \times {0,5}^{n} + 0,2$ .
La direction de la salle de spectacle décide de clôturer la réservation par internet dès que la proportion des places disponibles est inférieure à 21 %.
En résolvant une inéquation, déterminer au bout de combien de jours, la fermeture des réservations par internet aura lieu.
On cherche le plus petit entier n solution de l'inéquation $d_{n} < 0,21$ soit : $\begin{array}{rcl} 0,8 \times {0,5}^{n} + 0,2 < 0,21 & \Leftrightarrow & 0,8 \times {0,5}^{n} < 0,01 \\ \Leftrightarrow & {0,5}^{n} < 0,0125 \\ \Leftrightarrow & \ln ({0,5}^{n}) < \ln 0,0125 \\ \Leftrightarrow & n \ln 0,5 < \ln 0,0125 \\ \Leftrightarrow & n > \frac{\ln 0,0125}{\ln 0,5} \end{array}$
Comme $\frac{\ln 0,0125}{\ln 0,5} \approx 6,3$ alors, le plus petit entier n tel que $a_{n} < 0,21$ est $n = 7$ .
La fermeture des réservations par internet aura lieu sept jours après l'ouverture.

partie b

Vingt minutes avant le début du spectacle, les places réservées par internet deviennent disponibles et sont mises en vente.
Le graphe ci-dessous modélise les itinéraires entre le point de départ D d'une personne ayant réservée une place par internet et, qui se rend à la salle de spectacle A.
Les arêtes sont pondérées par les temps moyens de parcours, en minutes, en tenant compte des difficultés de la circulation.
En partant une heure avant le début du spectacle, cette personne arrivera-elle avant que sa réservation ne soit annulée ?

À l'aide de l'algorithme de Dijkstra, déterminons le trajet autoroutier le plus court pour aller de D à A.

A	B	C	D	E	F	G	H	Sommet sélectionné
∞	∞	∞	0	∞	∞	∞	∞	D (0)
∞	∞	14 (D)		5 (D)	∞	∞	∞	E (5)
∞	∞	13 (E)			24 (E)	∞	13 (E)	C (13)
∞	19 (C)				24 (E)	35 (C)	13 (E)	H (13)
∞	19 (C)				23 (H)	35 (C)		B (19)
∞					23 (H)	31 (B)		F (23)
41 (F)						31 (B)		G (31)
39 (G)								A (39)

Le sommet A étant marqué, pour lire la chaîne de poids minimal, on part de A et on "remonte" la chaîne en suivant les prédécesseurs. $A \leftarrow G \leftarrow B \leftarrow C \leftarrow E \leftarrow D$ .

Le trajet le plus court pour aller de D à A est D - E - C - B - G - A. Le temps de parcours est de 39 minutes.

Le trajet D - E - C - B - G - A permet à cette personne d'arriver 20 minutes avant le début du spectacle.

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