bac blanc du 15 mai 2017

Corrigé de l'exercice 2

partie a

1. Recopier et compléter l'arbre pondéré suivant :

   • 380 clients se sont rendus en agence d'où $P\left(A\right)=\mathrm{0,38}$ et $P\left(\overline{A}\right)=1-\mathrm{0,38}=\mathrm{0,62}$.
   • Parmi les clients qui se sont rendus en agence, 95 % se sont déclarés satisfaits de l'accueil d'où $P_A\left(S\right)=\mathrm{0,95}$ et $P_A\left(\overline{S}\right)=1-\mathrm{0,95}=\mathrm{0,05}$.
   • Parmi les clients qui ont téléphoné, 15 % n'étaient pas satisfaits de l'accueil d'où $P_{\overline{A}}\left(\overline{S}\right)=\mathrm{0,15}$ et $P_{\overline{A}}\left(S\right)=1-\mathrm{0,15}=\mathrm{0,85}$.

   L'arbre pondéré traduisant cette situation est :

2. Calculer la probabilité que le client se soit rendu en agence et qu'il ait été satisfait de l'accueil.

   $$\begin{array}{ccc}P\left(A\cap S\right)=P_A\left(S\right)\times P\left(A\right)& \text{soit}& P\left(A\cap S\right)=\mathrm{0,95}\times \mathrm{0,38}=\mathrm{0,361}\end{array}$$

   La probabilité que le client se soit rendu en agence et qu'il ait été satisfait de l'accueil est égale à 0,361.

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3. Montrer que la probabilité de S est 0,888.

   Les évènements A et S sont relatifs à la même épreuve. D'après la formule des probabilités totales :$$P\left(S\right)=P\left(S\cap A\right)+P\left(S\cap \overline{A}\right)$$

   Or $$\begin{array}{ll}& P\left(S\cap \overline{A}\right)=P_{\stackrel{—}{A}}\left(S\right)\times P\left(\overline{A}\right)\\ \text{Soit}& P\left(S\cap \overline{A}\right)=\mathrm{0,85}\times \mathrm{0,62}=\mathrm{0,527}\end{array}$$

   D'où, $$\begin{array}{lll}P\left(S\right)& =& P\left(S\cap A\right)+P\left(S\cap \overline{A}\right)\\ & =& \mathrm{0,361}+\mathrm{0,527}\\ & =& \mathrm{0,888}\end{array}$$

   Ainsi, la probabilité qu'un client soit satisfait de l'accueil est égale à 0,888.

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4. Sachant que le client a été satisfait, quelle est la probabilité qu'il se soit rendu en agence ?

   $$\begin{array}{lll}{P}_S\left(A\right)={\displaystyle \frac{P\left(S\cap A\right)}{P\left(S\right)}}& \text{Soit}& P_S\left(A\right)={\displaystyle \frac{\mathrm{0,361}}{\mathrm{0,888}}}\approx \mathrm{0,407}\end{array}$$

   Arrondie au millième, la probabilité qu'un client satisfait de l'accueil se soit rendu en agence est 0,407.

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partie b

La compagnie d'assurances s'intéresse aux coûts des sinistres susceptibles de survenir en 2016 sur les véhicules qu'elle assure. On note X la variable aléatoire qui à chaque sinistre associe son coût en euros.
L'étude des années précédentes permet de supposer que X suit la loi normale d'espérance 1200 et d'écart-type 200.

1. La compagnie estime que pour l'année 2016, elle devra faire face à 10000 sinistres. À combien peut-elle estimer le coût de l'ensemble de ces sinistres ?

   X suit la loi normale d'espérance 1200 donc le coût moyen d'un sinistre est de 1200 euros.

   Par conséquent, onn peut estimer que le coût de l'ensemble de ces sinistres est de $10000\times 1200=\mathrm{12 000 000}$ d'euros.

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2. Sans utiliser la calculatrice, expliquer pourquoi on peut estimer qu'environ 95 % des sinistres auront un coût compris entre 800 et 1600 euros.

   La variable aléatoire X suit la loi normale d'espérance $\mu =1200$ et d'écart-type $\sigma =200$ alors, $$P\left(1200-2\times 200⩽X⩽1200+2\times 200\right)\approx \mathrm{0,95}$$

   Ainsi, $P\left(800⩽X⩽1600\right)\approx \mathrm{0,95}$.

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3. Calculer $P\left(X>1000\right)$. Donner le résultat arrondi à ${10}^{-2}$.

   • À l'aide de la calculatrice, on trouve $P\left(X>1000\right)\approx \mathrm{0,84}$

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   • On peut utiliser également les propriétés de la loi normale : $P\left(1000⩽X⩽1400\right)\approx \mathrm{0,68}$ et, par symétrie de la courbe par rapport à la droite d'équation $x=250$ on a : $$\begin{array}{rcl}P\left(X>1000\right)& =& P\left(1000⩽X⩽1200\right)+P\left(1000⩽X⩽1200\right)\\ & =& {\displaystyle \frac{P\left(1000⩽X⩽1400\right)}{2}}+P\left(1000⩽X⩽1200\right)\\ & \approx & \mathrm{0,34}+\mathrm{0,5}=\mathrm{0,84}\end{array}$$

     Ainsi, $P\left(X>1000\right)\approx \mathrm{0,84}$

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4. À l'aide de la calculatrice, estimer la valeur du nombre réel a, arrondi à l'unité, vérifiant $P\left(X⩾a\right)=\mathrm{0,04}$.
   Interpréter le résultat obtenu dans le cadre de l'exercice.

   Les évènements $\left\{X⩾a\right\}$ et $\left\{X<a\right\}$ sont contraires. D'où $$\begin{array}{rcl}P\left(X⩾a\right)=\mathrm{0,04}& \iff & P\left(X<a\right)=1-\mathrm{0,04}=\mathrm{0,96}\end{array}$$

   Avec la calculatrice, on trouve $P\left(X<a\right)=\mathrm{0,96}$ pour $a\approx 1550$.

   Environ 4 % des sinistres ont un coût supérieur à 1550 euros.

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